De vergelijkingen in
\(\cc\)
voor plaats
\(z\)
, snelheid
\(\frac{dz}{dt}\)
en versnelling
\(\frac{d^z}{dz^2}\)
zijn
\(z=r e^{i\phi}\)
\(v = \left[\frac{dr}{dt} + ir\frac{d\phi}{dt}\right]e^{i\phi}\)
(*)
\(a = \left[\frac{d^2r}{dt^2} - r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2 +i \frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\phi}{dt}\right)\right]e^{i\phi}\)
________________________________
We beginnen met de tweede wet van Kepler (de perkenwet).
Als een planeet in dezelfde tijd van A naar B als van C naar D gaat, zijn de gearceerde oppervlakten I en II even groot.
Newton zegt
\(F = -g\frac{Mm}{r^2}e^{i\phi} \mbox{ en } F=ma\)
Hieruit volgt
\(ae^{-i\phi} = \frac{-gM}{r^2}\)
(**)
Het rechter lid is reëel, dus het imaginaire deel van het linker lid is 0, d.w.z.
\(\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\frac{d\phi}{dt}\right)\right]=0\)
ofwel
\(r^2\frac{d\phi}{dt} = c\)
(***) (
\(c\)
is een of andere constante)
We zijn klaar, want hier staat de perkenwet: De toename van de oppervlakte is op elk tijdstip constant.
Oppervlakte
\(I = \frac{1}{2}\int_{\phi_A}^{\phi_B} r^2\ d\phi = \frac{c}{2}\int_{t_A}^{t_B}dt = \frac{c}{2}\int_{t_C}^{t_D}dt = \frac{1}{2}\int_{\phi_C}^{\phi_D} r^2\ d\phi =\)
Oppervlakte
\(II\)
.
________________________________
De eerste wet van Kepler zegt dat alle planeten zich rond de zon bewegen in elliptische banen, waarbij de zon zich in één van de brandpunten van de ellips bevindt.
Uit (**) en (***) volgt:
\(a = \frac{d^2z}{dt^2} = \frac{-gM}{r^2}e^{i\phi} = \frac{-gM}{c}\frac{d\phi}{dt}e^{i\phi}\)
Integreren geeft
\(\frac{dz}{dt} = i\frac{gM}{c}e^{i\phi} + id\)
(d is een reële constante).
Dan met (*)
\(\frac{dr}{dt} + ir\frac{d\phi}{dt} = i\frac{gM}{c} + ide^{-i\phi}\)
Vergelijken we weer de imaginaire delen links en rechts, dan krijgen we
\(r\frac{d\phi}{dt} = \frac{gM}{c} +d\cos(\phi)\)
en met (***)
\(r = \frac{\frac{c^2}{gM}}{1+\frac{dc}{gM}\cos(\phi)}\)
en dit is een vergelijking van een ellips zoals de eerste wet voorschrijft. Zie
http://farside.ph.utexas.edu/syntaxis/syntaxis/node9.html
________________________________
De derde wet van Kepler zegt, dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van haar langste as.
Onze ellips was van de volgende vorm
\(r = \frac{p}{1+q\cos(\phi)}\)
De helft van de lange as is vind je door
\(\phi=0\)
in te vullen, en is dus
\(p\)
Dan is de omlooptijd (volgens (***))
\(T = \int_{0}^{T}dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{r^2}{c}\ d\phi = \frac{p^2}{c}\int_{0}^{2\pi} \frac{d\phi}{(1+q\cos(\phi))^2}\ d\phi = \frac{2\pi p^2}{c(1+q^2)\sqrt{1+q^2}}\)
Dus
\(T^2 = \frac{4\pi^2 p^4}{c^2(1+q^2)^3} = \frac{4\pi^2 p^3}{gM(1+q^2)^3}\)
Dus
\(T^2\)
is evenredig met
\(p^3\)
.
