Springen naar inhoud

Kepler in c


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 maart 2007 - 10:36

Richard Feynman bewees de wetten van Kepler meetkundig. Zie
http://geometryexpre...34f1777c9bb63b0
Hij zei zelf van zijn bewijs: "all you need is infinite intelligence".

Newton bewees zijn gravitatiewetten m.b.v. de wetten van Kepler. Hij maakte daarbij gebruik van complexe getallen.
Om de een of andere reden (misschien omdat er aan complexe getallen "een luchtje" zat) werden de complexe getallen in de natuurkunde vermeden en maakte men alleen gebruik van reŽle vectoren.
Gelukkig hebben de huidige natuurkundigen de complexe getallen weer in hun armen gesloten.

De wetten van Kepler zijn zonder "infinite intelligence" te bewijzen m.b.v. complexe getallen.
De eerste 2 wetten zijn werkelijk simpel. De 3-de heb ik nog niet bekeken.

Wat zijn de vergelijkingen voor de snelheid LaTeX en de versnelling LaTeX in LaTeX ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 27 maart 2007 - 18:22

De eerste 2 wetten Kepler over de beweging van planeten zijn de volgende:
a) De planeten bewegen volgens ellipsen met in het brandpunt de Zon.
b) De wet der perken:de planeten leggen per tijdseenheid dezelfde oppervlakte van hun ellips af . Dus hoe verder een planeet van de Zon hoe trager ze beweegt.

Om de baan te bepalen werken we met poolcŲordinaten met oorsprong in de Zon. Op de planeten werkt een aantrekkende centraalkracht:LaTeX

De snelheid in poolcŲrdinaten is:LaTeX

De versnelling in poolcŲordinaten is:LaTeX

Om nu over tegaan naar complexe voorstelling kan men volgende doen in bovenstaande LaTeX vervangen door LaTeX en [unparseable or potentially dangerous latex formula, error 7] door LaTeX
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 maart 2007 - 20:43

Vergeet die vectoren volledig.

Een punt is LaTeX wordt als volgt weergegeven LaTeX
Dus als een punt afhangt van de tijd, dan is LaTeX
Nu differentiŽren:
LaTeX
en
LaTeX

Ziet dat er niet heerlijk ingewikkeld uit? :grin:
(Merk op dat LaTeX en LaTeX geen scalairen zijn; ze bezitten ook een richting. Van die akelige eenheidsvectoren zijn we verlost).

#4

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 27 maart 2007 - 20:52

Oke mijn afleiding is ingewikkelder, maar ik meen toch dat we hetzelfde krijgen. :neutral:
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 maart 2007 - 09:18

De vergelijkingen in LaTeX voor plaats LaTeX , snelheid LaTeX en versnelling LaTeX zijn
LaTeX
LaTeX
LaTeX

________________________________

We beginnen met de tweede wet van Kepler (de perkenwet).
Geplaatste afbeelding
Als een planeet in dezelfde tijd van A naar B als van C naar D gaat, zijn de gearceerde oppervlakten I en II even groot.

Newton zegt LaTeX
Hieruit volgt LaTeX
Het rechter lid is reŽel, dus het imaginaire deel van het linker lid is 0, d.w.z.
LaTeX
ofwel LaTeX (LaTeX is een of andere constante)
We zijn klaar, want hier staat de perkenwet: De toename van de oppervlakte is op elk tijdstip constant.
Oppervlakte LaTeX Oppervlakte LaTeX .

Veranderd door PeterPan, 28 maart 2007 - 09:20


#6

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 maart 2007 - 09:50

Het volgende applet kan misschien ook verheldering brengen:
applet
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#7

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 maart 2007 - 10:21

Ik weet niet hoe PeterPan met complexe getallen de derde wet gaat bewijzen.Maar gewoon kan men het zo:
De gravitatiekracht op de planeet=centripetale kracht dus:
LaTeX
Snelheid planeet:LaTeX waarbij T periode of tijd 1 omloop.
Invullen en wat rekenen:
LaTeX

Veranderd door kotje, 28 maart 2007 - 10:27

Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#8

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2007 - 10:48

Waarom gebruikt men bv in de elektriciteit complexe getallen en geen vectoren?

#9

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 maart 2007 - 11:53

De berekeningen worden veel eenvoudiger.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 maart 2007 - 14:42

Ik heb de twee topics over Kepler & complexe getallen samengevoegd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 maart 2007 - 18:34

Ik heb de twee topics over Kepler & complexe getallen samengevoegd.

Dat vind ik niet handig.
Ik wou de 3 bewijzen liever bij elkaar houden. Dat is veel overzichtelijker. Nu wordt het een puzzel waar alles staat.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 maart 2007 - 18:41

Nu was er een aankondiging en een aparte topic voor de uitwerking? Samen lijkt me logischer.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 maart 2007 - 22:33

De vergelijkingen in LaTeX voor plaats LaTeX , snelheid LaTeX en versnelling LaTeX zijn
LaTeX
LaTeX (*)
LaTeX

________________________________

We beginnen met de tweede wet van Kepler (de perkenwet).
Geplaatste afbeelding
Als een planeet in dezelfde tijd van A naar B als van C naar D gaat, zijn de gearceerde oppervlakten I en II even groot.

Newton zegt LaTeX
Hieruit volgt LaTeX (**)
Het rechter lid is reŽel, dus het imaginaire deel van het linker lid is 0, d.w.z.
LaTeX
ofwel LaTeX (***) (LaTeX is een of andere constante)
We zijn klaar, want hier staat de perkenwet: De toename van de oppervlakte is op elk tijdstip constant.
Oppervlakte LaTeX Oppervlakte LaTeX .

________________________________

De eerste wet van Kepler zegt dat alle planeten zich rond de zon bewegen in elliptische banen, waarbij de zon zich in ťťn van de brandpunten van de ellips bevindt.
Uit (**) en (***) volgt:
LaTeX
Integreren geeft
LaTeX (d is een reŽle constante).
Dan met (*)
LaTeX
Vergelijken we weer de imaginaire delen links en rechts, dan krijgen we
LaTeX
en met (***)
LaTeX
en dit is een vergelijking van een ellips zoals de eerste wet voorschrijft. Zie http://farside.ph.ut...axis/node9.html

________________________________

De derde wet van Kepler zegt, dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van haar langste as.
Onze ellips was van de volgende vorm
LaTeX
De helft van de lange as is vind je door LaTeX in te vullen, en is dus LaTeX
Dan is de omlooptijd (volgens (***))
LaTeX
Dus
LaTeX
Dus LaTeX is evenredig metLaTeX .

#14

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 maart 2007 - 09:30

PeterPan schreef:

De derde wet van Kepler zegt, dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van haar langste as.

Ik meen dat het afstand tot de Zon moet zijn. LaTeX in je formule is r de afstand tot de Zon op dit ogenblik en de Zon staat niet in O maar in ťťn van de brandpunten van de ellips.
Wat je geschil met TD betreft vind ik dat hij er goed aan gedaan heeft alles over Kepler samen te voegen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 29 maart 2007 - 10:58

De derde wet van Kepler zegt, dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van haar langste as, dwz de afstand zon - planeet, wanneer de planeet zich het verst van de zon bevindt.
Er zijn meerdere equivalente formuleringen mogelijk, zoals
Het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van de gemiddelde afstand tussen zon en planeet.
De zon staat in O. O is tevens een brandpunt van de ellips.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures