\(C^{2n}_n=(C_0^n)^2+(C_1^n)^2+ . . . +(C_n^n)^2\)
Geef een interpretatie.
Laatste berichten
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Combinaties
-
- Berichten: 3.330
Combinaties
Bewijs dat:
Geef een interpretatie.
Geef een interpretatie.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Combinaties
Verdeel een rij van 2n luciferhoutjes in 2 gelijke delen van n houtjes.
Je kunt de helft van de 2n lucifers wegnemen door
1 weg uit eerste stapeltje en n-1 uit tweede
2 weg uit eerste stapeltje en n-2 uit tweede
enz.
k weg uit eerste stapeltje en n-k uit tweede kan op
Je kunt de helft van de 2n lucifers wegnemen door
1 weg uit eerste stapeltje en n-1 uit tweede
2 weg uit eerste stapeltje en n-2 uit tweede
enz.
k weg uit eerste stapeltje en n-k uit tweede kan op
\(C_{k}^n C_{n-k}^{n} = (C_{k}^{n})^2\)
De rest spreek voor zich.-
- Berichten: 3.330
Re: Combinaties
Je uitleg kan goed zijn ,maar ik zie het niet zitten.
Ik denk zelf op een oplossing maar vind er geen.
Ik denk zelf op een oplossing maar vind er geen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 3.330
Re: Combinaties
Deze is wel gemakkelijk:
\(C_0^n+C_1^n+C_2^n+ . . . +C_n^n=2^n\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.068
Re: Combinaties
Misschien helpt dit.Je uitleg kan goed zijn ,maar ik zie het niet zitten.
\(C^{2 n}_n\)
is het aantal mogelijkheden om \(n\)
elementen uit \(2 n\)
te kiezen. Verdeel nu de \(2 n\)
elementen in twee groepen van \(n\)
elementen. Het aantal manieren om \(n\)
elementen te trekken uit deze twee groepen samen verandert natuurlijk niet (het zijn samen nog steeds \(2 n\)
elementen).We bekijken nu alleen even de situatie van de twee groepen. Als ik
\(n\)
elementen wil trekken en slechts k elementen uit de ene groep kies dan zal ik er \(n-k\)
uit de andere groep moeten trekken om tot \(n\)
elementen te komen. Ik kan op \(C^{n}_k\)
manieren k elementen uit de ene groep trekken. Tevens kan ik op \(C^{n}_{n-k}\)
manieren \(n-k\)
elementen uit de andere groep trekken. Elke mogelijkheid van elementen uit de eerste groep kan ik combineren met alle mogelijkheden uit de tweede groep. Het totaal aantal mogelijke combinaties waarbij je \(k\)
elementen uit de eerste groep trekt is dus: \(C^{n}_{k} \cdot C^{n}_{n-k}\)
.Nu kun je dit even uitschrijven:
\(C^{n}_{k} \cdot C^{n}_{n-k} = {n \choose k} \cdot {n \choose n-k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = (\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!})^2 = (C^n_k)^2\)
Het totaal aantal mogelijke combinaties waarbij je \(k\)
elementen uit de eerste groep trekt is dus: \((C^{n}_{k})^2\)
.Het totaal aantal mogelijkheden is gelijk aan het aantal mogelijkheden waarbij je 0 elementen uit de ene groep neemt plus het aantal mogelijkheden dat je 1 element uit die groep neemt, plus het aantal mogelijkheden dat je 2 elementen... t/m n elementen uit die groep. Ofwel:
\(\sum_{k=0}^n (C^n_k)^2\)
We hadden ook nog een andere uitdrukking voor het totaal aantal mogelijkheden. Deze combineren:\(C^{2 n}_n = \sum_{k=0}^n (C^n_k)^2\)
Duidelijker?-
- Berichten: 3.330
Re: Combinaties
Evilbro je uitleg is klaar en duidelijk en ik kan hem beamen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Combinaties
\((1+x)^{2n} = (1+x)^n(1+x)^n\)
Neem van beide leden de n-de coefficient.Dat is voor het linker lid
\({2n \choose n}\)
en voor het rechter lid het convolutieproduct \(\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}{n \choose n-k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2\)
