Ik heb slechts 1 vraag, die volgens mij redelijk lastig is, aangezien ik er niet uitkom.
Bepaal de limiet van n naar oneindig van
1 / n^2
+
2/ (n^2-1)
+
3/ (n^2 - 2)
+
..............
+
n / (n^2 - n+1)
Aanwijzing: geef eerst een boven- en ondergrens voor 1/ (n^2 -k+1) voor 1 kleiner of gelijk aan k kleiner of gelijk aan n, beide onafhankelijk van k.
Laatste berichten
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
00:37
Rotatie van het heelal 24
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Limiet van een rij
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 7.556
Re: Limiet van een rij
sorry, let niet op mij.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 110
Re: Limiet van een rij
Kan iedereen overkomen 
Mijn vraagstuk staat overigens nog...
Mijn vraagstuk staat overigens nog...-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Limiet van een rij
Voor 1<k<n geldt:Wiskunde schreef:Ik heb slechts 1 vraag, die volgens mij redelijk lastig is, aangezien ik er niet uitkom.
Bepaal de limiet van n naar oneindig van
1 / n^2
+
2/ (n^2-1)
+
3/ (n^2 - 2)
+
..............
+
n / (n^2 - n+1)
Aanwijzing: geef eerst een boven- en ondergrens voor 1/ (n^2 -k+1) voor 1 kleiner of gelijk aan k kleiner of gelijk aan n, beide onafhankelijk van k.
\(\frac{1}{n^2-n+1}<\frac{1}{n^2-k+1}<\frac{1}{n^2}\)
dus:\(\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2-n+1}<\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2-k+1}<\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2}\)
omdat \(\sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)\)
Nu gaan de linker- en rechtergrens beide naar 1/2 als n naar oneindig gaat!-
- Berichten: 2.504
Re: Limiet van een rij
euhm... als je sommatie van 1 tot positief oneindig loopt, hoe kan je dan een linker en rechtergrens hebben?
neem je 1 soms als ondergrens?
als je dat invult bekom je geen 1/2 maar gewoon 1...
kijk ik hier naast iets?
"1 / n^2
+
2/ (n^2-1)
+
3/ (n^2 - 2)
+
..............
+
n / (n^2 - n+1)"
en dat is voor mij heel onduidelijk... op wat slaat de aftrekking hier? op de macht of op het getal dat tot een macht verhoffen wordt?
neem je 1 soms als ondergrens?
als je dat invult bekom je geen 1/2 maar gewoon 1...
kijk ik hier naast iets?
"1 / n^2
+
2/ (n^2-1)
+
3/ (n^2 - 2)
+
..............
+
n / (n^2 - n+1)"
en dat is voor mij heel onduidelijk... op wat slaat de aftrekking hier? op de macht of op het getal dat tot een macht verhoffen wordt?
"Invisible Pink Unicorns are beings of great spiritual power. We know this because they are capable of being invisible and pink at the same time. Like all religions, the Faith of the Invisible Pink Unicorns is based upon both logic and faith. We have faith that they are pink; we logically know that they are invisible because we can't see them."
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Limiet van een rij
Safe schreef:Voor 1<k<n geldt:\(\frac{1}{n^2-n+1}<\frac{1}{n^2-k+1}<\frac{1}{n^2}\)dus:\(\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2-n+1}>\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2-k+1}>\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2}\)omdat\(\sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2}n(n+1)\)Nu gaan de linker- en rechtergrens beide naar 1/2 als n naar oneindig gaat!
-
- Berichten: 2.504
Re: Limiet van een rij
kun je even de voorbeelden van de linker en rechtergrens uitschrijven aub? ik snap het niet zo goed...
hoe kom je aan het besluit dat voor 1<k<n geldt wat jij beschreven hebt?
hoe kom je aan het besluit dat voor 1<k<n geldt wat jij beschreven hebt?
"Invisible Pink Unicorns are beings of great spiritual power. We know this because they are capable of being invisible and pink at the same time. Like all religions, the Faith of the Invisible Pink Unicorns is based upon both logic and faith. We have faith that they are pink; we logically know that they are invisible because we can't see them."
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Limiet van een rij
Neem (bv) n=5 en k=3 dan geldt: 1<3<5 => 1/(25-5+1)>1/(25-3+1)>1/25 (klopt dit?),probeer zelf een andere k natuurlijk wel tussen 1 en 5. Neem ook eens een andere n.Evil Lathander schreef:kun je even de voorbeelden van de linker en rechtergrens uitschrijven aub? ik snap het niet zo goed...
hoe kom je aan het besluit dat voor 1<k<n geldt wat jij beschreven hebt?
Nu heb je grenzen voor de gegeven rij, onafhankelijk van k!!!
Dus:
\(\sum_{k=1}^n{\frac{k}{n^2-k+1}}>\sum_{k=1}^n{\frac{k}{n^2}}=\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=1}^n{k}\right)\)
Ik bekijk de rechterhelft van de ongelijkheid.Wat is hier nu gebeurd? In de eerste plaats heb ik de noemer in elke term (links) vervangen door n², dus elke term is daarmee door een kleinere term vervangen en dus is de som ook kleiner geworden. Maar omdat de noemer (n²) nu onafhankelijk van k is mag ik deze buiten haakjes halen. Binnen de haakjes staat dan (eenvoudig) 1+2+3+...+n=(1/2)n(n+1).
Bekijk het nu nog eens!!!
-
- Berichten: 2.504
Re: Limiet van een rij
Ik snap het nog steeds niet... waar haal je het trouwens vandaan dat k in de teller mag staan?
dat (1/2)n(n+1) de reeksontwikkeling voor n naar oneindig is kan ik inkomen, alhoewel ik het nooit zou gevonden hebben
dat (1/2)n(n+1) de reeksontwikkeling voor n naar oneindig is kan ik inkomen, alhoewel ik het nooit zou gevonden hebben
"Invisible Pink Unicorns are beings of great spiritual power. We know this because they are capable of being invisible and pink at the same time. Like all religions, the Faith of the Invisible Pink Unicorns is based upon both logic and faith. We have faith that they are pink; we logically know that they are invisible because we can't see them."
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Limiet van een rij
Probeer eens precies aan te geven wat je niet 'snapt'.Evil Lathander schreef:Ik snap het nog steeds niet... waar haal je het trouwens vandaan dat k in de teller mag staan?
dat (1/2)n(n+1) de reeksontwikkeling voor n naar oneindig is kan ik inkomen, alhoewel ik het nooit zou gevonden hebben
Begrijp je het getallenvoorbeeld en wat dat met de opgave te maken heeft.
\(\sum_{k=1}^n{k}=\frac{1}{2}n(n+1)\)
is de formule voor deze 'speciale' rekenkundige rij. Misschien is het verstandig aan te geven wat je wiskundige achtergrond is!
Overigens heeft 'Wiskunde' (nog) niet gereageerd!
-
- Berichten: 110
Re: Limiet van een rij
Hierbij dan toch een reactie van 'Wiskunde'Overigens heeft 'Wiskunde' (nog) niet gereageerd!
Je hebt het inderdaad kort opgeschreven, maar volgens mij is het wel goed. Kort maar krachtig, dus!
-
- Berichten: 2.504
Re: Limiet van een rij
Mijn wiskundige achtergrond is 6 uur wiskunde per week in het middelbaar. Ook nu op de hogeschool nu heb ik reeksontwikkeling gezien maar ik zie niet hoe ik die k moet plaatsen...
Ik neem aan dat 1<k<n
Dus heb je als linkerlimiet 1 en als rechterlimiet n.
de gegeven rij is:
Hoe helpt dit bij het oplossen van deze oefening?
Ik neem aan dat 1<k<n
Dus heb je als linkerlimiet 1 en als rechterlimiet n.
de gegeven rij is:
\( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2 - 1} + \frac{3}{n^2 - 2} + ... + \frac{n}{n^2 - n + 1}\)
je gaat dan die n vervangen door k, een daar zoek je de linker en rechter limiet van?Hoe helpt dit bij het oplossen van deze oefening?
"Invisible Pink Unicorns are beings of great spiritual power. We know this because they are capable of being invisible and pink at the same time. Like all religions, the Faith of the Invisible Pink Unicorns is based upon both logic and faith. We have faith that they are pink; we logically know that they are invisible because we can't see them."
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Limiet van een rij
OK! nu vervang je enerzijds alle noemers door de kleinste noemer n²-n+1, anderzijds alle noemers door de grootste n².Evil Lathander schreef:Mijn wiskundige achtergrond is 6 uur wiskunde per week in het middelbaar. Ook nu op de hogeschool nu heb ik reeksontwikkeling gezien maar ik zie niet hoe ik die k moet plaatsen...
Ik neem aan dat 1<k<n
Dus heb je als linkerlimiet 1 en als rechterlimiet n.
de gegeven rij is:
\( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2 - 1} + \frac{3}{n^2 - 2} + ... + \frac{n}{n^2 - n + 1}\)je gaat dan die n vervangen door k, een daar zoek je de linker en rechter limiet van?
Hoe helpt dit bij het oplossen van deze oefening?
Let op: hoe kleiner de noemer hoe groter de breuk!
\( \frac{1}{n^2-n+1} + \frac{2}{n^2-n+1} + \frac{3}{n^2-n+1} + ... + \frac{n}{n^2-n+1}>\)
\(>\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2-1} + \frac{3}{n^2-2} + ... + \frac{n}{n^2-n+1}>\)
\(>\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2} + ... + \frac{n}{n^2}\)
, (ben je 't met de ongelijktekens eens?)Haal nu buiten haakjes:
\(\frac{1}{n^2-n+1}(1+2+3+...+n)>\)
\(> \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2 - 1} + \frac{3}{n^2 - 2} + ... + \frac{n}{n^2 - n + 1}>\)
\(>\frac{1}{n^2}(1+2+3+...+n)\)
Ga nu zelf verder!-
- Berichten: 2.504
Re: Limiet van een rij
oke, ik heb het nu uitgeschreven en als ik het uitwerk klopt wat je schrijft.
Enkel heb ik nog nooit gezien, of ben ik vergeten hoe je aan de algemene formule voor (1+2+3+...+n) komt.
En ook die techniek met eerst geen k in de teller, dan wel... zegt me allemaal niks... ik snap hoegenaamd niet waarom en hoe, maar als ik het uitreken klopt het allemaal...
Enkel heb ik nog nooit gezien, of ben ik vergeten hoe je aan de algemene formule voor (1+2+3+...+n) komt.
En ook die techniek met eerst geen k in de teller, dan wel... zegt me allemaal niks... ik snap hoegenaamd niet waarom en hoe, maar als ik het uitreken klopt het allemaal...
"Invisible Pink Unicorns are beings of great spiritual power. We know this because they are capable of being invisible and pink at the same time. Like all religions, the Faith of the Invisible Pink Unicorns is based upon both logic and faith. We have faith that they are pink; we logically know that they are invisible because we can't see them."
-
- Berichten: 24.578
Re: Limiet van een rij
Dat heb je waarschijnlijk toch gezien bij rijen & reeksen, de (partiële) som van een rekenkundige rij?Enkel heb ik nog nooit gezien, of ben ik vergeten hoe je aan de algemene formule voor (1+2+3+...+n) komt.
Groepeer: (1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))+... = n(n+1)/2.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
