Stelsel differentiaalvergelijkingen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 49

Stelsel differentiaalvergelijkingen

ik heb een stelsel differentiaalvergelijkingen dy/dx=Ay, met y uit R^n. Als ik deze wil oplossen moet ik e^A kunnen uitrekenen (A is een matrix met op de diagonaal labda's (eigenwaarden) en voor de rest nullen). Hoe reken ik zo e^A uit? (het lukt me wel vanuit de machtreeks van e maar die mag ik niet gebruiken...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Stelsel differentiaalvergelijkingen

Misschien kan je de opgave zelf plaatsen? Of bedoel je 'theoretisch'?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 49

Re: Stelsel differentiaalvergelijkingen

idd, dit is de opgave... ik weet vanuit de definitie van de machtreeks dat het antwoord moet zijn een matrix met op de diagonaal e^(ax), met a de eigenwaardes (in mn eerste stukje labda)

Berichten: 7.068

Re: Stelsel differentiaalvergelijkingen

Per definitie:
\(e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}\)


Stel A en B zijn diagonaal matrices:
\(A = \left[\begin{array}{cccc} a_1 & & & 0 \\ & a_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & a_n \end{array}\right]\)
\(B = \left[\begin{array}{cccc} b_1 & & & 0 \\ & b_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & b_n \end{array}\right]\)
Dan geldt:
\(A \cdot B = \left[\begin{array}{cccc} a_1 b_1 & & & 0 \\ & a_2 b_2& & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & a_n b_n\end{array}\right]\)
dus ook:
\(A^k = \left[\begin{array}{cccc} a_1^k & & & 0 \\ & a_2^k & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & a_n^k \end{array}\right]\)
Voor vermenigvuldigen met een scalair c geldt:
\(c A = \left[\begin{array}{cccc} c a_1 & & & 0 \\ & c a_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & c a_n \end{array}\right]\)


combineren:
\(\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} = \left[\begin{array}{cccc} \sum_{k=0}^\infty \frac{a_1^k}{k!} & & & 0 \\ & \sum_{k=0}^\infty \frac{a_2^k}{k!} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & &\sum_{k=0}^\infty \frac{a_n^k}{k!} \end{array}\right]\)
dus:
\(e^A = \left[\begin{array}{cccc} e^{a_1} & & & 0 \\ & e^{a_2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & e^{a_n} \end{array}\right]\)
(dit geldt natuurlijk alleen als A een diagonaal matrix is.)

Gebruikersavatar
Berichten: 49

Re: Stelsel differentiaalvergelijkingen

Ja, dat klopt. Maar dit is dan de opgave uitgewerkt vanuit de definitie van de machtreeks, dat lukte me op zich wel. Maar ik weet niet hoe ik e^A kan uitrekenen als ik het vanuit het stelsel wil doen. Of ik begrijp de opgave verkeerd... :)

Misschien kan ik voor de duidelijkheid toch de opgave precies geven:
\( $Zij $ $A \in$ $L(R,R^n)$ een matrix van de vorm $A=aI$. \)
Bereken op twee manieren
\( $e^A$; \)
1) Door het stelsel differentiaalvergelijkingen
\( $dy/dx=Ay$, $y$\in$ $R^n$, \)
op te lossen

2) Rechstreeks vanuit de definitie van de e-macht als machtsreeks. [/tex]

Die tweede methode lukt dus wel, maar die eerste niet.

Re: Stelsel differentiaalvergelijkingen

EvilBro schreef:Per definitie:
\(e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}\)
t.o.v. welke metriek???

Gebruikersavatar
Berichten: 49

Re: Stelsel differentiaalvergelijkingen

t.o.v. Euclidische metriek

Re: Stelsel differentiaalvergelijkingen

t.o.v. Euclidische metriek
Die bestaat niet voor matrices.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Stelsel differentiaalvergelijkingen

peterpan heeft gelijk dat het meer werk vergt om die reeksen te mogen invoeren. Best gewoon via de eigenwaarderepresentatie werken dus. Ik vraag me nu wel af met welke metriek deze 'definitie' tot stand kwam.

Los daarvan, is de beoogde differentiaaloplossing niet zo moeilijk (rigourositeit buiten beschouwing gelaten). een oplossing is van de vorm
\(y(x)=Ce^{A.x}\)
. stel beginvoorwaarde
\(C=\bar{\bar{1}}\)
. schrijf de differentiaalvergelijking dan ook eens uit voor de coëfficienten
\(y_{ij}(x)\)
vul de beginvoorwaarde in en stel x=1

Reageer