okee dan houden we het even bij
\(y=2x-c\)
In dat geval:
\(\frac{dx}{dt}=-kx(2x-c)^2\)
ofwel
\(\frac{dx}{x(2x-c)^2}=-kdt\)
Nu breuksplitsen, ofwel:
\( \frac{dx}{x(2x-c)^2} = \left( \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{(2x-c)^2} \right) dx\)
\( \frac{1}{x(2x-c)^2}dx = \left( \frac{A(2x-c)^2}{x(2x-c)^2} + \frac{x(Bx+C)}{x(2x-c)^2} \right)dx \)
dus
\( A(2x-c)^2 + x(Bx+C) = 1 \)
uitwerken:
\( (4A+B)x^2 + (C-4cA)x + Ac^2 = 1 \)
dus
\( 4A+B=0 \)
,
\( C-4cA=0 \)
,
\( Ac^2=1 \)
dus
\( A=\frac{1}{c^2} \)
,
\( B=- \frac{4}{c^2} \)
,
\( C=\frac{4}{c} \)
dus
\( \frac{dx}{x(2x-c)^2}= \left( \frac{1}{c^2} \frac{1}{x} + \frac{- \frac{4}{c^2}x+\frac{4}{c}}{(2x-c)^2} \right) dx \)
\( = \left( \frac{1}{c^2} \frac{1}{x} -\frac{2}{c^2} \frac{2x-2c}{(2x-c)^2} \right) dx \)
\( = \left( \frac{1}{c^2} \frac{1}{x} -\frac{2}{c^2} \left( \frac{2x-c}{(2x-c)^2} - \frac{c}{(2x-c)^2} \right) \right) dx \)
\( = \left( \frac{1}{c^2} \frac{1}{x} -\frac{2}{c^2} \frac{1}{2x-c} + \frac{2}{c} \frac{1}{(2x-c)^2} \right) dx \)
Nu wordt de nieuwe differentiaalvergelijking dus:
\( \left( \frac{1}{c^2} \frac{1}{x} -\frac{2}{c^2} \frac{1}{2x-c} + \frac{2}{c} \frac{1}{(2x-c)^2} \right) dx = -kdt\)
primitiveren:
\( \int \left( \frac{1}{c^2} \frac{1}{x} -\frac{2}{c^2} \frac{1}{2x-c} + \frac{2}{c} \frac{1}{(2x-c)^2} \right) dx = -\int kdt\)
\( \frac {1}{c^2}ln | \frac{x}{2x-c} | - \frac{1}{c} \frac{1}{2x-c} = -kt+K \)
\(K\)
bepaal je dmv het invullen van een bekend punt. Dan heb je een uitdrukking waarmee je x kan vinden door t in te vullen (wel met behulp van een grafische rekenmachine/computerprogrammaatje). Verder gebruik je
\( 2x-y=constante \)
voor het vinden van de y. De constante bepaal je dmv de beginvoorwaarden. Misschien staat er hier en daar een foutje, maar de uitkomst van het primitiveren klopt wel, want ik heb het gecontroleerd met
http://wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=12609 . Laat even horen of het lukt.
Z
