Koers van een voorwerp in een formule.

curix

Hallo. Als het niet te veel is zou ik graag eens een formule krijgen om de koers van een voorwerp te berekenen. Ik bedoel, als men een bal met x aantal kracht weggooit en er is een wind van y beaufort onder een hoek van z graden en in een gas of vloeistof met een bepaalde massadichtheid onder een bepaalde druk ..... (enzovoort enzovoort).

Op het internet vond ik alleen maar sites over de geschiedenis van de bal en over de koers in de handel. Op dit forum bij de zoekfunctie had ik ook geen resultaat.

dank u

Jan van de Velde

Zoals je het hierboven stelt krijgt die weggeworpen bal geen vaste koers maar wordt het een "boogballetje" omdat de snelheid in de werprichting zal afnemen (luchtweerstand) en die in de windrichting sterk begint en minder wordt naarmate de bal meer snelheid in de windrichting krijgt. En dat pak je helaas niet in een formule volgens mij, maar dat zal met een iteratieve berekening benaderd moeten worden.

curix

Welja, ik bedoel een formule om de plaats waar de bal neerkomt te berekenen. koers is inderdaad slecht gebruikt.

Maar als er geen formule is, wat is die iteratieve berekening dan?

Marco van Woerden

Je kunt hier in ieder geval een differentiaalvergelijking voor opschrijven, maar dan moet je wel aangeven wat voor kracht er wordt uitgeoefend, en welke factoren je allemaal meeneemt. Als je de situatie niet te moeilijk maakt, kun je die differentiaalvergelijking zelfs nog oplossen en kun je de positie

\(x(t)\)

eruit oplossen.

Phys

Het lastige is juist dat hij de situatie zéér moeilijk wil maken (alle mogelijke variabelen)

Jan van de Velde

Je kunt hier in ieder geval een differentiaalvergelijking voor opschrijven, maar dan moet je wel aangeven wat voor kracht er wordt uitgeoefend, en welke factoren je allemaal meeneemt. Als je de situatie niet te moeilijk maakt, kun je die differentiaalvergelijking zelfs nog oplossen en kun je de positie
\(x(t)\)
eruit oplossen.

Hoe doe je zoiets als de snelheid op een bepaald moment afhangt van de tot dan toe uitgeoefende kracht x tijd, maar die kracht op elk tijdstip weer afhangt van (het kwadraat van) die snelheid op een bepaald moment? Dan krijg je toch een cirkelredenering waar je wiskundig niet meer uitkomt of zie ik dat verkeerd?

Sjakko

Hoe doe je zoiets als de snelheid op een bepaald moment afhangt van de tot dan toe uitgeoefende kracht x tijd, maar die kracht op elk tijdstip weer afhangt van (het kwadraat van) die snelheid op een bepaald moment? Dan krijg je toch een cirkelredenering waar je wiskundig niet meer uitkomt of zie ik dat verkeerd?

Dat is juist het idee van een differentiaalvergelijking. Als het gaat om een rechte lijn is ie ook vrij makkelijk op te lossen. Ik heb ook even gekeken naar dit probleem, maar je moet minstens een wiskundekoning zijn om dit op te lossen en dat ben ik absoluut niet. Ik heb wel wat gevonden op internet: http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0506/0506201.pdf .

Marco van Woerden

Hoe doe je zoiets als de snelheid op een bepaald moment afhangt van de tot dan toe uitgeoefende kracht x tijd, maar die kracht op elk tijdstip weer afhangt van (het kwadraat van) die snelheid op een bepaald moment? Dan krijg je toch een cirkelredenering waar je wiskundig niet meer uitkomt of zie ik dat verkeerd?

Ja, daar is wel uit te komen. Misschien is dit een leuk voorbeeldje. Bekijk de volgende differentiaalvergelijking:

\(\frac{dv}{dt} = 1 - v^2\)

\(\Rightarrow \frac{dv}{1 - v^2} = dt\)

Gebruik nu een trucje:

\(\frac{2}{1 - v^2} = \frac{(1 + v) + (1 - v)}{1 - v^2} = \frac{(1 + v) + (1 - v)}{(1 - v)(1 + v)} = \frac{1}{1-v} + \frac{1}{1+v}\)

\(\Rightarrow \frac{dv}{1 - v} + \frac{dv}{1 + v} = 2dt\)

Nu aan beide kanten integreren.

\(\Rightarrow \ln{\frac{1 + v}{1 - v}} = 2t + C\)

\(\Rightarrow \frac{1 + v}{1 - v} = e^{2t + C}\)

\(\Rightarrow v = \frac{e^{2t + C}-1}{e^{2t + C}+1}}\)

Neem nu aan dat

\(v(t=0) = 0\)

\(\Rightarrow C = 0\)

\(\Rightarrow v = \frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1}} = \frac{e^t}{e^t} \frac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}} = \frac{\sinh{t}}{\cosh{t}} = \tanh{t}\)

Uit de snelheid kan de plaats bepaald worden.

\(x(t) = \int_0^t{v(t')dt'} = \int_0^t{\tanh{t'}dt'}\)

Gewoon even deze integraal evalueren.

Jan van de Velde

Gewoon even deze integraal evalueren.

grapjurk

Ik durf er niet eens naar te kijken, mij kun je op dit gebied van alles wijsmaken.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Koers van een voorwerp in een formule.

Koers van een voorwerp in een formule.

Re: Koers van een voorwerp in een formule.

Re: Koers van een voorwerp in een formule.

Re: Koers van een voorwerp in een formule.

Re: Koers van een voorwerp in een formule.

Re: Koers van een voorwerp in een formule.

Re: Koers van een voorwerp in een formule.

Re: Koers van een voorwerp in een formule.

Re: Koers van een voorwerp in een formule.