Schrijven met enen

kotje

Zij reeks:

\(S_{10}=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+ . . . +\frac{10}{11!}\)

Probeer bovenstaande reeks te schrijven met 4 enen.

Rogier

1-1/11!

PeterPan

Bereken

\(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + \frac{1}{1+2+3+4+5} \cdots\)

Rogier

Zeg

\(S_n = \frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+\cdots+n} = \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sum_{j=1}^k j} = \sum_{k=2}^n\frac{1}{k(k+1)/2}\)

Dan

\(S_n=\frac{n-1}{n+1}\)

dus

\(S_{\infty}=1\)

kotje

Het voorgaande is gemakkelijk, maar hoe ge plots aan

\(S_n=\frac{n-1}{n+1}\)

komt is voor mij een raadsel.

TD

\(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)/2}} = \frac{2}{k} - \frac{2}{{k + 1}}\)

Alle termen vallen dus paarsgewijs weg, behalve de eerste en de laatste:

\(\frac{2}{2} - \frac{2}{{n + 1}} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}}\)

Wetenschapsforum