Reeks

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Reeks

\( \lim_{n \rightarrow \infty } \left ( \frac{1}{ \sqrt{n^2 +1^2 } } +\frac{1}{ \sqrt{n^2 +2^2 } }+...+\frac{1}{ \sqrt{n^2 +n^2 } } \right ) \)
wat ik heb gedaan
\( \lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{n^2 +i^2 } } = \lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{ \sqrt{1 + ( \frac{i}{n} )^2 } }= \lim_{n \rightarrow \infty } \int_{1}^{n } \frac{dx}{ \sqrt{1 + x^2 } }=\infty\)


dit klopt echter niet, want het moet zijn
\(\ln (1+\sqrt{2})\)
wat doe ik fout?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeks

Hoe kom je aan die grenzen? Als je n naar oneindig laat gaan dan gaat 1/n naar 0 en n/n is 1.

Je krijgt dus inderdaad die integraal, maar voor x van 0 tot 1. Dat levert het juiste antwoord.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Reeks

bedankt, dat is wat men noemt een open goal missen :grin:
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeks

Graag gedaan, lukt het om via die integraal tot het antwoord te komen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Reeks

zeker,

goniometrische substitutie, of
\( x^2=-(ix)^2 \)
(uiteindelijk is de integrand de afgeleide van arcsinh(x) )
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeks

(uiteindelijk is de integrand de afgeleide van arcsinh(x) )
Klopt, maar dan moet je van arcsinh(1) nog naar ln(1+sqrt(2)) :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer