Pagina 1 van 1
Reeks
Geplaatst: za 07 apr 2007, 18:15
door jhnbk
\( \lim_{n \rightarrow \infty } \left ( \frac{1}{ \sqrt{n^2 +1^2 } } +\frac{1}{ \sqrt{n^2 +2^2 } }+...+\frac{1}{ \sqrt{n^2 +n^2 } } \right ) \)
wat ik heb gedaan
\( \lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{n^2 +i^2 } } = \lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{ \sqrt{1 + ( \frac{i}{n} )^2 } }= \lim_{n \rightarrow \infty } \int_{1}^{n } \frac{dx}{ \sqrt{1 + x^2 } }=\infty\)
dit klopt echter niet, want het moet zijn
\(\ln (1+\sqrt{2})\)
wat doe ik fout?
Re: Reeks
Geplaatst: za 07 apr 2007, 18:22
door TD
Hoe kom je aan die grenzen? Als je n naar oneindig laat gaan dan gaat 1/n naar 0 en n/n is 1.
Je krijgt dus inderdaad die integraal, maar voor x van 0 tot 1. Dat levert het juiste antwoord.
Re: Reeks
Geplaatst: za 07 apr 2007, 18:58
door jhnbk
bedankt, dat is wat men noemt een open goal missen
Re: Reeks
Geplaatst: za 07 apr 2007, 18:59
door TD
Graag gedaan, lukt het om via die integraal tot het antwoord te komen?
Re: Reeks
Geplaatst: za 07 apr 2007, 19:04
door jhnbk
zeker,
goniometrische substitutie, of
\( x^2=-(ix)^2 \)
(uiteindelijk is de integrand de afgeleide van arcsinh(x) )
Re: Reeks
Geplaatst: za 07 apr 2007, 19:06
door TD
(uiteindelijk is de integrand de afgeleide van arcsinh(x) )
Klopt, maar dan moet je van arcsinh(1) nog naar ln(1+sqrt(2))
