Mochten er overigens fouten in mijn (ii) en (iii) staan dan hoor ik dat ook graag.
Laatste berichten
-
22:11
wig 3
-
22:08
speciale rel. theorie 8
-
21:42
Gravity and gravitation 2
-
21:26
Straatklok loopt 5 minuten voor 10
-
20:50
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 9
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Onafhankelijkheid stelsel aantonen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 98
Onafhankelijkheid stelsel aantonen
Ik mis even het inzicht voor onderdeel (i) van het volgende vraagstuk, iemand die me even de goede weg op kan helpen?
Mochten er overigens fouten in mijn (ii) en (iii) staan dan hoor ik dat ook graag.
Mochten er overigens fouten in mijn (ii) en (iii) staan dan hoor ik dat ook graag.
-
- Berichten: 98
Re: Onafhankelijkheid stelsel aantonen
Niemand? 't Lijkt nochtans een vrij eenvoudige opgave... Al zie ik het zelf ook niet..
-
- Moderator
- Berichten: 4.096
Re: Onafhankelijkheid stelsel aantonen
Dit zou mijn aanpak zijn, al klopt mijn uitwerking niet.
Je stelt eerst
Maar nu de uitvoering. Hier ga ik zelf dus ook de mist in.
Enerzijds:
Je stelt eerst
\(c_3 = \alpha c_1 + \beta c_2\)
en je beschouwt \(f(c_3)\)
. Deze kun je op twee manieren uitrekenen, namelijk door \(c_3\)
in te vullen in \(f\)
of door \(c_1\)
en \(c_2\)
in te vullen in \(f\)
en \(\alpha f(c_1) + \beta f(c_2)\)
te berekenen. In beide gevallen krijg je dan als antwoord \(x(\alpha,\beta) c_1 + y(\alpha,\beta) c_2\)
, waarna je zowel de \(x\)
als de \(y\)
van beide methoden aan elkaar gelijk stelt. Dit levert twee vergelijkingen op, met twee onbekenden \(\alpha\)
en \(\beta\)
. Wanneer de oplossing(en) van dit systeem niet in \(Q\)
liggen, heb je bewezen dat er geen \(\alpha\)
en \(\beta\)
zijn, zodanig dat \(c_3 = \alpha c_1 + \beta c_2\)
.Maar nu de uitvoering. Hier ga ik zelf dus ook de mist in.
Enerzijds:
\(f(c_3) = f(2c_1 + c_3) - f(2c_1) = 3c_3 - 2f(c_1) = 3c_3 + 6c_1 - 2c_2 = (3\alpha+6)c_1 + (3\beta-2)c_2\)
Anderzijds:\(f(c_3) = \alpha f(c_1) + \beta f(c_2) = -3 \alpha c_1 + \alpha c_2 + 4 \beta c_1 - 2 \beta c_2 + 4 \beta c_3 = (-3 \alpha + 4 \beta + 4 \alpha \beta) c_1 + (\alpha -2 \beta + 4 {\beta}^2) c_2\)
Oftewel:\(3 \alpha + 6 = -3 \alpha + 4 \beta + 4 \alpha \beta\)
\(3 \beta - 2 = \alpha - 2 \beta + 4 {\beta}^2\)
Met als oplossingen: \((\alpha,\beta) = (-\frac{7}{2},\frac{3}{2})\)
, \((-1,\frac{1}{4})\)
of \((-1,1)\)
. Ik zie dus nog geen reden om aan te nemen dat \(c_1, c_2, c_3\)
onafhankelijk zijn, maar misschien heb ik een rekenfout gemaakt (of misschien klopt mijn aanpak wel gewoon niet).-
- Berichten: 7.068
Re: Onafhankelijkheid stelsel aantonen
Beetje laat, maar...
Ik twijfel aan of dit correct is. Een systeem is l.o.s. als geldt:Je stelt eerst\(c_3 = \alpha c_1 + \beta c_2\)
\(\alpha c_1 + \beta c_2 + \gamma c_3 = 0 \rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 0\)
Door je aanname sluit je volgens mij uit dat \(\gamma\) nul kan zijn...-
- Moderator
- Berichten: 4.096
Re: Onafhankelijkheid stelsel aantonen
Hierin heb je gelijk; zoals ik het geformuleerd heb test je inderdaad alleen of
\(c_3\)
onafhankelijk is van \(c_1\)
en \(c_2\)
, maar niet of \(c_1\)
en \(c_2\)
zelf onafhankelijk zijn van elkaar. Maar feit blijft dat ik een \(\alpha\)
en \(\beta\)
gevonden heb zodanig dat ik \(c_3\)
geschreven heb als een lineaire combinatie van \(c_1\)
en \(c_2\)
en de drie dus niet lineair onafhankelijk zijn.-
- Berichten: 24.578
Re: Onafhankelijkheid stelsel aantonen
Een poging. Vermits f lineair is, geldt f(0) = 0:
\(xc_1 + yc_2 + zc_3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {xc_1 + yc_2 + zc_3 } \right) = f\left( 0 \right) = 0\)
Door de lineariteit:\(f\left( {xc_1 + yc_2 + zc_3 } \right) = xf\left( {c_1 } \right) + yf\left( {c_2 } \right) + zf\left( {c_3 } \right)\)
Waarbij:\(2f\left( {c_2 } \right) + f\left( {c_3 } \right) = 3c_3 \Leftrightarrow f\left( {c_3 } \right) = 3c_3 - 2f\left( {c_2 } \right) \Leftrightarrow f\left( {c_3 } \right) = 3c_3 - 8c_1 + 4c_2 \)
Dus:\(f\left( {xc_1 + yc_2 + zc_3 } \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( { - 3c_1 + c_2 } \right) + y\left( {4c_1 - 2c_2 } \right) + z\left( {3c_3 - 8c_1 + 4c_2 } \right) = 0\)
Nu hergroeperen met de c's buitengebracht:\(c_1 \left( { - 3x + 7y - 8z} \right) + c_2 \left( {x - 2y + 4z} \right) + c_3 \left( {3z} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 7y - 8z = 0 \\ x - 2y + 4z = 0 \\ 3z = 0 \\ \end{array} \right\)
Levert x = y = z = 0."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
