Springen naar inhoud

Manteloppervlakte van omwentelingslichamen


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 07 november 2003 - 22:57

Kan iemand deze oefening oplossen?

Een parabolische spiegel ontstaat door het wentelen van de parabool y^2=4x (x en y in meter) rond de X-as. Bepaal de waarde van X zodat de spiegeloppervlakte 5m≤ bedraagt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Pierewiet

    Pierewiet


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 november 2003 - 15:45

O=Integraal van 0 tot x 2pi*f(x)*wortel[1+f'(x)^2}dx waarbij f(x)>=0
y^2=4x => y=2wortelx => y'=1/wortelx

O=Int 2pi2wortelx*wortel{1+ 1/x} dx =
4pi Int wortelx*wortel(1+1/x)dx=4pi Int wortel(1+x) dx=(8pi/3)(x+1)wortel(x+1)

O=5 => (8pi/3)(x+1)wortel(x+1) - (8pi/3) = 5
Stop je dit in je GRM, dan komt uit x = 0.366...meter
"The best way to predict the future is to prevent it" *Alan Kay*

#3


  • Gast

Geplaatst op 08 november 2003 - 17:24

Weet je zeker dat dat goed is? Ik kom nml. op iets anders uit ->

x = 0.70887

Werk het na het eten wel ff uit

#4


  • Gast

Geplaatst op 08 november 2003 - 21:29

OK, ik zet hieronder mijn oplossing neer. Ik reken het vandaag of morgen nog even na (nog een keer! :shock: want ik vind het irritant dat Pierewiet een ander oplossing heeft.

#5


  • Gast

Geplaatst op 08 november 2003 - 21:31

Hiermee kun je de oppervlakte (of volume, wel beetje aanpassen dan) van een willekeurig omwentelingslichaam te berekenen. Is makkelijker te onthouden denk ik en de integraal is makkelijker. Werkt ook bij kegels en andere omwentelingslichamen.

Wat je moet weten:
1) wat de omtrek is van een cirkel (C = 2*pi*r)
2) wat de oppervlakte is van een wc-rol (A = C*l), waarbij 'l' de lengte van de wc-rol is.

(nb. Als je het volume van een omwentelingslichaam wilt uitrekenen moet je weten wat de oppervlakte van een cirkel is en hoe je daarmee het volume van een cilinder uitrekent. Anyway, dat terzijde.)

Wat precies gebeurt is dit. De hyperboloide wordt benaderd door wc-rollen (ja, sorry). De grap is dat als er maar genoeg wc-rollen zijn en de lengte van die rollen maar klein genoeg is je het oppervlak van de hyperboloide hebt.

Het lijkt ingewikkeld. Het had gescheeld als ik er wat tekeningetjes bij had gemaakt. Maar dat moet je nu dus zelf doen. Zonder tekeningetjes snap je het denk ik niet, tenzij je Newton himself bent.

>>> teken de functie van de hyperbool y = 2*Sqr(x) in een xyz- stelsel <<<

Opmerking: 'Sqr' betekent wortel, dus bijvoorbeeld Sqr(4) = 2

OK, stel je neemt NIET het hele omwentelingslichaam, maar je snijdt er een plakje uit.

Dat 'plakje' is een cirkel. Duidelijk?

>>> teken de cirkel (maakt niet uit waar op de x-as) <<<

De omtrek van een cirkel is 2*pi*r maar als je de grafiek tekent zul je zien dat de straal r in het xyz-coordinaatstelsel gelijk is aan de y-waarde. Dus de omtrek van de cirkel is 2*pi*y.

>>> geef de radius van de cirkel aan met y <<<

Maar je wilt niet de omtrek, je wilt het oppervlak weten.

OK, trek de cirkel uit tot een wc-rol. Het oppervlak van die wc-rol is de omtrek van de cirkel maal de lengte van die wc-rol.

De lengte van de wc-rol heet vanaf nu 'dx'. De lengte loopt namelijk over een stukje van de x-as, ofwel een stukje x, ofwel dx.

>>> geef de lengte van de wc-rol aan met dx <<<

Ok, dat is het denkwerk. Nu is het alleen nog invullen.

Oppervlak van de wc-rol is omtrek cirkel maal dat stukje op de x-as

Dus (invullen) oppervlak van wc-rol is A = 2*pi*y*dx

Het oppervlak van de hyperboloide is het totaal van alle wc-rollen die je naast elkaar kunt tekenen. Als je 'dx' maar klein genoeg tekent, en maar genoeg wc-rolen tekent, dan zie je geen verschil meer tussen de hyperboloide en de getekende wc-rollen. Dat heet dan de integraal.

waarom dx bij een integraal zo klein wordt snap ik ook niet, maar het werkt wel. En je hoeft er niets voor te doen. Nou, je moet er eigenlijk wel wat voor doen en dat is een dikke stift pakken en een vet integraalteken voor de functie zetten.

Oppervlak hyperboloide is A = INT(2*pi*y*dx) = 2*pi*INT(y*dx)

Nou kun je voor y = 2*Sqr(x) invullen of voor dx = d[(1/4)*y^2]

(noot: dit zijn allebei omwerking van de originele hyperbool functie y = 2*Sqr(x))

Dus je lost op A = 2*pi*INT(2*Sqr(x)*dx)
Of je lost op A = 2*pi*INT(y*d[(1/4)*y^2])

Maakt niet uit welke. Maar ik doe ze ff allebei voor de duidelijkheid.

1e oplossing voor x:
A = 2*pi*INT(2*Sqr(x)*dx)
A = 4*pi*INT(Sqr(x)*dx)
A =(8/3)*pi*x^(3/2)

2e oplossing, maar dan voor y:
A = 2*pi*INT(y*d[(1/4)*y^2])
A = (2*(1/4))*pi*INT(yd[y^2])
A = (2*(1/4))*pi*INT((y*2y)d[y])
A = (2*(1/4))*pi*INT((2y^2)d[y])
A = (1/2))*pi*INT((2y^2)d[y])
A = (1/3)*pi*y^3

Als je A = 5 stelt dan krijg je
y = (15/pi)^(1/3) = 1,68389
x = (15/(8*pi))^(2/3) = 0,70887

Hoop dat ik geen fouten heb gemaakt bij het intypen. Sorry dat ik geen tekeningetjes erbij heb gemaakt, dan zou het heel wat makkelijker te volgen zijn.

#6


  • Gast

Geplaatst op 08 november 2003 - 21:48

toch maar ff een tekeningetje gemaakt

Geplaatste afbeelding

#7


  • Gast

Geplaatst op 08 november 2003 - 23:37

Ik heb het voor een paar andere figuren ook nagerekend en dat klopte ook (na vergelijking met de standaard formules uit een zakboekje), dus ik vermoed toch wel heel erg dat ik het goed heb.

succes ermee verder :shock:

#8


  • Gast

Geplaatst op 09 november 2003 - 01:34

Vergeet het! Ik ben fout!

#9


  • Gast

Geplaatst op 09 november 2003 - 01:56

Deuh... Kan iemand me hiermee helpen...?

Die x die ik heb uitgerekend kan niet goed zijn. Die is te groot.


Maar als in een aantal andere gevallen klopt het wel...?!


Bijvoorbeeld parabool y = x^2

Reken ik _volume_ uit krijg ik V = (1/2)*pi*x^4
En in zakboekje staat V = (1/2)*pi*(r^2)*h en je kunt uitrekenen daar komt dezelfde uitkomst uit.


Bijvoorbeeld kegel y = x

Reken ik _volume_ uit krijg ik V = (1/3)*pi*x^3
En in zakboekje staat V = (1/3)*pi*(r^2)*h en ook hier kun je uitrekenen dat je dezelfde uitkomst krijgt.

Reken ik _oppervlak_ uit krijg ik A = pi*(x^2)
En in zakboekje staat A = pi*r*s en ook hier idem (nb. s is lengte van beschrijvende).


Waarom klopt dit wel? Is dit 3x toeval dat het uitkomt?

#10

DVR

    DVR


  • >250 berichten
  • 581 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 november 2003 - 02:34

Volgens mij klopt x = 0.70887 wel.. Daar kom ik ook op uit...
De kortste weg tussen twee punten is nooit een rechte lijn...

#11


  • Gast

Geplaatst op 09 november 2003 - 02:57

Volgens mij klopt x = 0.70887 wel.. Daar kom ik ook op uit...


Als je heel grof het oppervlak uitrekent voor alleen x = 0.70887

dan krijg je y = 1,68389 en oppervlakte 2*pi*y = 8,907923

Maar omdat het een gekromd oppervlak is is het in werkelijkheid nog groter.

En het is nu al groter dan 5, dus... kan nooit ;)


Maar ik snap niet wat ik gedaan heb. Ik kan er wel het volume van een bol met r = 1 mee uitrekenen, maar weer niet die van een bol van r = 1,3 of whatever... Soms werkt het wel ;) en soms weer nie :shock:

#12


  • Gast

Geplaatst op 09 november 2003 - 03:00

sorry... 2*pi*y is natuurlijk pi*y^2

#13


  • Gast

Geplaatst op 18 november 2003 - 00:01

de fout zit in de keuze van het element -> moet afgeknotte kegel zijn en geen cilinder

#14


  • Gast

Geplaatst op 14 november 2005 - 18:16

Hoe doe je de omtrek van een cirkel met straal is het plus of maal

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 november 2005 - 18:25

Hoe doe je de omtrek van een cirkel met straal is het plus of maal

Daar moet je geen 2-jaar-oude topic voor omhoog halen, maar de zoekfunctie gebruiken.

Omtrek cirkel = 2r :roll: = d :P





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures