In een wiskundeboek staan twee soorten Riemann sommen. Een waarbij je eerst de ondersom en de bovensom van de deelintervallen berekent en dan de uitkomst zo opschrijft
\(ondersom < Oppervlakte < bovensom\)
en de tweede is dat je het midden neemt van de deelintervallen en daarmee het oppervlakte berekent. Hierdoor krijg je een antwoord als
\(Oppervlakte=Riemannsom\)
.
Welke methode is nu de echte Riemannsom, of welke is de meest gebruikelijke?
ze zijn beide Riemannsommen. Als je de limiet neemt van de ondersom en bovensom zullen ze beiden convergeren naar 1 "getal" En dit is weer gelijk aan de tweede manier. Ik persoonlijk geef de voorkeur aan de tweede manier, want het is korter.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
In het algemeen heb je een Riemannsom als je voor elk deelinterval de functie evalueert in een willekeurig punt x* uit dat interval. Voor brave functies (bvb continu) gaat die som onafhankelijk van de gekozen deelpunten convergeren naar de oppervlakte, net zoals de onder- en bovensom.
Het voordeel van de onder- en bovensommen tov een willekeurige Riemannsom is dat de limiet waarmee je de integraal definineert eenvoudiger in elkaar zit. De limiet hangt hier immers niet af van de gekozen deelpunten (enkel van de partitie, keuze van de intervallen dus, en de functie), anders wel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
