Random punten

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Random punten

Op een lijnstuk van lengte 10 worden at random 2 punten aangewezen, zeg X en Y.

Kies vervolgens at random 10 punten op diezelfde lijn.

Wat is de kans dat die 10 punten alle binnen het segment XY liggen?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Random punten

12 willekeurige punten kun je op 12! manieren ordenen. In 2 :mrgreen: 10! van de gevallen liggen de eerste twee vooraan en achteraan.

Dus:
\(\frac{2\cdot 10!}{12!}=\frac{1}{66}\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Re: Random punten

Verdorie, te makkelijk :mrgreen:

Ik heb zo 12 ad random gekomen punten op het lijnstuk van lengte 10 (en dus 13 intervallen).

Wat is het gemiddelde van het product van de lengtes van die intervallen?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Random punten

Peterpan schreef:
Wat is het gemiddelde van het product van de lengtes van die intervallen?
Moet dit niet zijn het gemiddelde van de lengte van die intervallen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Random punten

ik denk het niet; je neemt van elke mogelijkheid het product van de lengtes van de intervallen, en daar het gemiddelde van
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: Random punten

kotje schreef:Peterpan schreef:

Moet dit niet zijn het gemiddelde van de lengtes van die intervallen.
Nee. Nog eens zonder tiepfouten:

Ik heb 12 at random gekozen punten op een lijnstuk van lengte 10 (en dus 13 intervallen).

Wat is het gemiddelde van het product van de lengtes van die intervallen?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Random punten

Vervelend, gemiddeld is één zo'n lijnstuk 10/13 lang, maar ze zijn niet onafhankelijk dus je kunt niet zomaar zeggen dat het gemiddelde product
\(\left(\frac{10}{13}\right)^{13}\)
is.

En uitrekenen met een twaalfvoudige integraal is ook niet zo'n pretje. Is ook vast niet nodig, maar ik zie hem even niet.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Re: Random punten

Hint (zoals ik het gedaan heb):

Voeg at random 13 punten toe. Wat is de kans dat ze elk in een ander interval liggen?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Random punten

Met eenzelfde soort redenering als bij de eerste vraag:
\(\frac{12! \cdot 13!}{25!}\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Re: Random punten

We zoeken M, het gemiddelde product van de lengtes.

Zeg je hebt de 13 intervallen
\(a_1 \cdots a_{13}\)
De kans dat elk elk interval precies één van de 13 nieuwe punten bevat is
\(13! \prod_{i=1}^{13}\frac{a_i}{10}\)
Gemiddeld over alle mogelijke verdelingen van die intervallen is dat
\(\frac{13!}{10^{13}}M\)


We hebben 12+13 = 25 random punten aangebracht, van 2 types, type A zijn de eerste 12, type B de laatste 13.

De kans dat ze om en om liggen is
\(\frac{12! 13!}{25!}\)
Gelijkstellen levert
\(M = \frac{12! 10^{13}}{25!} \approx 0,003\)

Reageer