Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 2.589

Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Ik heb volgende:

Afbeelding

Maar begrijp echt niet hoe me aan die algemeene oplossing komt? Iemand enig idee? Groeten Dank bij voorbaat.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Bij Analyse II heb je normaalgezien een matriciële methode gezien voor het oplossen van dergelijke stelsels, met behulp van eigenwaarden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

klopt zoiets moet dat zijn.

ik hier wat info gezocht: http://www.win.tue.nl/~hansc/linaf/linaf.pdf maar zie niet goed in hoe men op deze formele manier een basis kan vormen bijvoorbeeld. Ik weet wel hoe je een basis kan berekenen maar het lukt me hier niet, dus als iemand mij hier zou mee kunnen helpen?

Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Wat bedoel je hier met 'basis'?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Wel je bepaalt de eigenwaarden bijbehorend aan de matrix hier
\(\lambda_1 \ \ \lambda_2 \)
nadien dien je daar mee een basis te maken iets in de vorm van
\(A- \lambda I = 0 \)
om dan nadien een goede basis te hebben om A te diagonaliseren.

Maar die berekeningen ontgaan mij en daar kom ik niet uit? en ik zie ook niet hoe ik dan kan krijgen wat ik moet krijgen.

Volgens mij maakt men gebruik van het feit dat het punt, het singuliere punt, dat men gaat onderzoeken op de x-as ligt dus y=0 en dus zou het logisch zijn dat enkel de y-as verschoven wordt en dat gebeurd waarschijnelijk ook. Maar ik zie niet hoe er aan te beginnen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

De oplossing is (zie Ana II):
\(Y = c_1 Ve^{\lambda _1 t} + c_2 We^{\lambda _2 t} \)
Met Y de vector van je onbekenden, dus (x,y), en V en W de eigenvectoren van A.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Dus als ik het goed begrijp indien we een matrix met dimensie 3 dan hebben we
\(Y = c_1 Ve^{\lambda _1 t} + c_2 We^{\lambda _2 t}+c_3 Ze^{\lambda _3 t}\)
Zo had ik het nog nooit bezien, begreep dat stukje ook minder goed daarom.

Dus die eigenvectoren zijn dan:
\(\left ( \begin{array}{cc} \ a - \lambda & b \\ c & d-\lambda \end{array} \right ) = \left ( \begin{array} \ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)
na rekenwerk bekom ik dan dat
\(\left ( \begin{array}{cc} \ (a-\lambda) & b \\ 0 & \frac{(a-\lambda)(d-\lambda)}{c} \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} \ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)
Hoe moet ik hier nu verder mee? Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Je matrix heeft hier dimensie 2x2, het is een stelsel in de onbekenden x(t) en y(t).

Je vindt twee verschillende eigenwaarden, dus bij elke eigenwaarde hoort één lineair onafhankelijke eigenvector.

Dus (a-l)x+by = 0 <=> by = (l-a)x met l de eigenwaarden, precies wat ook in je afbeelding staat voor (b)y.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Ik moet dus idd eerst nog zo'n tweede vector berekenen en dan heb ik mijn nieuwe basis dus.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

De lineaire onafhankelijke eigenvectoren vormen inderdaad een basis voor de opgespannen eigenruimte.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

is de tweede eigenvector dan
\(\{((a-\lambda_2),0);(b,(\frac{(a-\lambda_2)(d-\lambda_2)}{c}))\} \)


deze samen met de vorige zorgen dan voor de basis?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

De eigenvectoren zijn:
\(\left( {\begin{array}{*{20}c} b \\ {\lambda _1 - a} \\\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} b \\ {\lambda _2 - a} \\\end{array}} \right)\)
of:
\(\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ {\frac{{\lambda _1 - a}}{b}} \\\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ {\frac{{\lambda _2 - a}}{b}} \\\end{array}} \right)\)
Dus:
\(Y = c_1 Ve^{\lambda _1 t} + c_2 We^{\lambda _2 t} \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\\end{array}} \right) = c_1 \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ {\frac{{\lambda _1 - a}}{b}} \\\end{array}} \right)e^{\lambda _1 t} + c_2 \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ {\frac{{\lambda _2 - a}}{b}} \\\end{array}} \right)e^{\lambda _2 t} \)
Uitgeschreven:
\(\left\{ \begin{array}{l} x = c_1 e^{\lambda _1 t} + c_2 e^{\lambda _2 t} \\ by = c_1 \left( {\lambda _1 - a} \right)e^{\lambda _1 t} + c_2 \left( {\lambda _2 - a} \right)e^{\lambda _2 t} \\ \end{array} \right.\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Oeps fout gevonden:

Afbeelding

dat is mis. en omdat ik de hele tijd wat zat te prutsen om de eigenvectoren te vinden en hier mee verder ging kwam ik er niet uit.

We hebben wel (denk ik ):
\(\left ( \begin{array}{cc} \ a-\lambda_1 & b \\ c & d- \lambda \end{array} \right )=\left ( \begin{array}{cc} \ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \)
en dan
\(\left ( \begin{array}{cc} \ a-\lambda_1 & b \\ 1 & \frac{d-\lambda_1}{c} \end{array} \right ) \)
dan de onderste rij maal
\((a-\lambda)\)
en na de eerste rij er af getrokken krijgen wel dan wel
\( \left ( \begin{array}{cc} \ a-\lambda & b \\ 0 & \frac{(a-\lambda) (d-\lambda )}{c} -b \end{array} \right ) \)
omdat
\((\frac{(a-\lambda)(d-\lambda)}{c}-b)y=0\)
volgt dat
\(\frac{(a-\lambda) (d-\lambda)}{c}=b\)
dus y=b en je stopt nu
\((d-\lambda)\)
in de constanten? maw je kon ook verder gaan werken met
\(d-\lambda\)
ipv
\(a-\lambda\)
Groeten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Vermits je matrix maar 2x2 is en je twee (verondersteld) verschillende eigenwaarden vindt, moeten de eigenvectoren elk een ruimte van dimensie 1 opspannen: één van beide vergelijkingen moet dus overtollig zijn bij het vinden van de eigenvector, ik heb verdergewerkt met de eerste, zo krijg je ook het opgegeven resultaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 2.589

Re: Stelsel differentiaalvergelijking oplossen hoe?

Idd Bedankt daarvoor dat was het probleem het terug vinden van de oplossing, maar gaande weg begreep ik dat ik de methode niet echt goed begreep daarom de opmerking dat je ook met de andere verder zou kunnen.

Groeten.

Reageer