Ik aanschouw een vectorruimte als iets wiskundig abstract opgebouwd uit twee fundamentele definities.
1) er is een samenvoeging van twee elementen gedefinieerd zodat we na het samenvoegen van twee elementen opnieuw een element van onze vectorruimte krijgen. De samenvoeging van twee elementen noteert men meestal al zijnde de optelling van twee vectoren maar dit mag niet al te letterlijk genomen worden dit omdat zo'n optelling op schijnbaar verschillende manier kan gedefinieerd worden in verschillende voorbeelden van ruimtes het belangrijkste is dat er zo'n bewerking bestaat die opnieuw een element oplevert van de ruimte.
Verder moet ik een aantal eisen stellen aan deze bewerking zo moet ze associatief zijn wat betekenend dat
\((\vec{v}+\vec{w})+\vec{u}=\vec{v}+(\vec{w}+\vec{u})\)
of in woorden de bewerking is op dergelijke degelijke manier gedefinieerd dat het niet uitmaakt dat ik eerst v en w optel en dan u of andersom.
Verder moet er voor deze bewerking een zeker element zijn van de ruimte zodat er met de vector waarbij dit gevoegd wordt niets gebeurd: het neutrale element meestal als zijnde
\(\vec{0}\)
genoteerd.
Elk element moet een tegengestelde hebben of nog een element waarmee je het optelt om zodoende nul te bekomen.
\(\vec{a}-\vec{a}=0=\vec{-a}+\vec{a}\)
Bijkomend vragen we commutatieviteit van deze bewerking hiermee bedoelen we dat
\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)
2) er is een soort van veralgemeende optelling, hier mee bedoelen we dat een vector opgeteld met zichzelf eenvoudiger geschreven kan worden door een scalaire vermenigvuldiging. Het resultaat van deze bewerking moet natuurlijk opnieuw een element van de ruimte zijn.
We eisen dat
\((a*b)\vec{d}=a*(b*\vec{d} \)
en noemen dit associativiteit.
Verder hebben we distributiviteit hiermee duiden we aan dat
\(a(\vec{c}+\vec{d})=a*\vec{c}+a*\vec{d} \)
Tot slot eisen we een neutraal element waarmee we indien toegepast op een vector terug dezelfde vector krijgen.
Nu wat vangen we hier mee aan? Wel de bedoeling is, een soort van abstracte theorie te ontwikkelen waar we een aantal karakteristieke verbanden in kunnen vastleggen dit mbv stellingen die dan kunnen bewezen worden. Als we nu een verzameling informatie tegen komen in de praktijk dan kunnen we ons afvragen of die verzameling informatie al dan niet voldoet aan zo'n structuur en zo ja de afgeleide informatie hier rechtstreeks op gaan toepassen.
Het belangrijkste verschil met een vectorruimte en dus vectoren in vergelijking met gewone getallen ligt er volgens mij in dat zon vector meer dan één soort informatie meedraagt. Bv een x meting en een y meting worden samen als één koppel gehouden maar beschrijven op zich iets anders namelijk de ééne een x-afstand de ander een y-afstand.
Een temperatuursmeting kan niet op zinvolle wijzen ontbonden worden en dus gewoon voorgesteld door één enkel getal.
Indien we de temperatuur in elk punt zouden meten dan zouden we eventueel een de drie coordinaten en een temperatuur in één vector kunnen steken.
Dit allemaal om aan te tonen dat je praktisch met zon concept veel kan aanvangen, maar beperk je zeker niet tot meetkundige aspecten, zoals ik mss in begin te veel deed want dan wordt het lastig om in te zien dat een ruimte van dimensie 10 gemakkelijk kan.
Indien men over twee vectoren onderling iets te weten wil komen dan kan men een inwendig product definiëren wat een verband tussen twee vectoren Definieert. Ze staan loodrecht op mekaar of nog ze hebben niets met elkaar te maken of net niet dergelijke interpretatie kan je aan zon functie toekennen in een zeker geval.
Ik hoop dat je er wat aan hebt mss wat slordig verwoord. Groeten.
, 
³, ...) en K bevat de scalairen ("getallen", bijvoorbeeld 
