Springen naar inhoud

vectorruimten en dot product


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 april 2007 - 21:08

Hoi :(
Allereerst een korte introductie:
Ik ben een vwo scholier, maar wiskunde is haast een hobby van mij, net zoals anderen TV kijken, PC spelletjes spelen en boeken lezen e.d. .
Ben laatst een autodidactische cursus wiskunde lineaire algebra begonnen, aangezien LA behalve wat basiskennis niet veel voorkennis vereist.
Ik heb mijn weg gewerkt door Gauss vormen/ weergave van stelsels door matricen/oplossingsstelsels door vectoren weergeven.. (Alhoewel ik de bewijzen niet 100% snap, is de rode lijn wel te volgen.)
Nu ben ik beland bij het term vectorspace dus :(
ZONDER gebruik te maken van termen, kan iemand mij vertellen wat een Vectorruimte nou is? Ik weet wel ongeveer wat het is, dat optellingen/vermenigvuldigen/andere elementaire bewerkingen mogelijk zijn in een vectorruimte, maar additionele beschrijvingen zijn welkom, aangezien dat mijn gevoel ervoor zal versterken..

Nog een vraagje:
De ''dot product'' van twee vectoren van zelfde dimensie is gedefinieerd als:
LaTeX
De absolute lengte van een vector is gedefinieerd als:
LaTeX
Hieruit volgt dat
LaTeX
Als je hiervan de wortel trekt, krijg je dus dat de absolute lengte van een vector gelijk is aan de vector zelf?! Dat is tch appels metperen vergelijken? Waar zitnou de fout?

mvg,
Heezen

Veranderd door Heezen, 20 april 2007 - 21:09

Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 april 2007 - 23:10

De absolute lengte van een vector is gedefinieerd als:
LaTeX


Hieruit volgt dat
LaTeX

Deze conclusie is onzin.
Correct is LaTeX oftewel het inproduct met zichzelf.
Maar LaTeX is niet zoiets als LaTeX want het gaat hier om een inproduct en niet om een 'gewoon product'. Dat zou namelijk inderdaad appels met peren vergelijken zijn, zoals je al zegt :(

Veranderd door Phys, 20 april 2007 - 23:13

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 april 2007 - 12:30

Een vectorruimte is een wiskunde structuur waar je twee verzamelingen voor nodig hebt: ik noem ze V en K. De verzameling V bevat de vectoren (bijvoorbeeld :?, :(², :P³, ...) en K bevat de scalairen ("getallen", bijvoorbeeld :P of :(). Om een vectorruimte te zijn, moet er aan een aantal eigenschappen voldaan zijn.

Je hebt twee bewerkingen nodig (vectoriële optelling: twee vectoren opgeteld geven een nieuwe vector) en scalaire vermenigvuldiging (vector scalair vermenigvuldigd met een getal geeft opnieuw een vector). De eigenschappen waar deze vectoren en scalairen aan moeten voldoen met betrekking tot deze bewerkingen, vind je hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 april 2007 - 10:49

Wanneer je twee elementen uit een vectorruimte V neemt, en je neemt daar willeurige lineaire combinaties van (dus je telt ze op, je vermingvuldigt ze..), dan blijft de 'uitkomst' ook in die vectorruimte zitten.

:( is dus een vectorruimte. Neem twee elementen uit :(, neem 5 en 20 bijvoorbeeld, dan is LaTeX nog steeds een element van :?, met lambda en mu elementen van :P
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#5

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2007 - 10:45

Dus 0,33 :? 20 + (- 1,5) :( 5 = -0,9 :P :(?
:? is geen vectorruimte, van de getallenverzamelingen zijn alleen :P en :P vectorruimten...

Veranderd door Rov, 23 april 2007 - 10:48


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 april 2007 - 11:57

Wat raintjah toont is dat :( over :( gesloten is onder het nemen van lineaire combinaties, maar dat maakt het dus nog geen vectorruimte (denk ook aan het invers element voor de optelling!).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2007 - 16:28

:( is dus een vectorruimte. Neem twee elementen uit :(, neem 5 en 20 bijvoorbeeld, dan is LaTeX

nog steeds een element van :?, met lambda en mu elementen van :P

Zou dit wel kunnen kloppen?
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 april 2007 - 16:35

Het klopt niet, omdat je in :( niet kan voldoen aan de voorwaarden van een vectorruimte (zoals het bestaan van een invers element voor de optelling). Rov gebruikte een lineaire combinatie als tegenbewijs, maar gebruikte daarbij scalairen die niet uit :( komen terwijl raintjah dat wel bedoelde. Maar dan nog lukt het dus niet, omdat :? geen veld(Be)/lichaam(NL) is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 april 2007 - 17:42

Ik aanschouw een vectorruimte als iets wiskundig abstract opgebouwd uit twee fundamentele definities.

1) er is een samenvoeging van twee elementen gedefinieerd zodat we na het samenvoegen van twee elementen opnieuw een element van onze vectorruimte krijgen. De samenvoeging van twee elementen noteert men meestal al zijnde de optelling van twee vectoren maar dit mag niet al te letterlijk genomen worden dit omdat zo'n optelling op schijnbaar verschillende manier kan gedefinieerd worden in verschillende voorbeelden van ruimtes het belangrijkste is dat er zo'n bewerking bestaat die opnieuw een element oplevert van de ruimte.
Verder moet ik een aantal eisen stellen aan deze bewerking zo moet ze associatief zijn wat betekenend dat LaTeX
of in woorden de bewerking is op dergelijke degelijke manier gedefinieerd dat het niet uitmaakt dat ik eerst v en w optel en dan u of andersom.
Verder moet er voor deze bewerking een zeker element zijn van de ruimte zodat er met de vector waarbij dit gevoegd wordt niets gebeurd: het neutrale element meestal als zijnde LaTeX genoteerd.
Elk element moet een tegengestelde hebben of nog een element waarmee je het optelt om zodoende nul te bekomen.
LaTeX
Bijkomend vragen we commutatieviteit van deze bewerking hiermee bedoelen we dat LaTeX


2) er is een soort van veralgemeende optelling, hier mee bedoelen we dat een vector opgeteld met zichzelf eenvoudiger geschreven kan worden door een scalaire vermenigvuldiging. Het resultaat van deze bewerking moet natuurlijk opnieuw een element van de ruimte zijn.
We eisen dat LaTeX en noemen dit associativiteit.
Verder hebben we distributiviteit hiermee duiden we aan dat LaTeX
Tot slot eisen we een neutraal element waarmee we indien toegepast op een vector terug dezelfde vector krijgen.

Nu wat vangen we hier mee aan? Wel de bedoeling is, een soort van abstracte theorie te ontwikkelen waar we een aantal karakteristieke verbanden in kunnen vastleggen dit mbv stellingen die dan kunnen bewezen worden. Als we nu een verzameling informatie tegen komen in de praktijk dan kunnen we ons afvragen of die verzameling informatie al dan niet voldoet aan zo'n structuur en zo ja de afgeleide informatie hier rechtstreeks op gaan toepassen.

Het belangrijkste verschil met een vectorruimte en dus vectoren in vergelijking met gewone getallen ligt er volgens mij in dat zo’n vector meer dan één soort informatie meedraagt. Bv een x meting en een y meting worden samen als één koppel gehouden maar beschrijven op zich iets anders namelijk de ééne een x-afstand de ander een y-afstand.
Een temperatuursmeting kan niet op zinvolle wijzen ontbonden worden en dus gewoon voorgesteld door één enkel getal.
Indien we de temperatuur in elk punt zouden meten dan zouden we eventueel een de drie coordinaten en een temperatuur in één vector kunnen steken.
Dit allemaal om aan te tonen dat je praktisch met zo’n concept veel kan aanvangen, maar beperk je zeker niet tot meetkundige aspecten, zoals ik mss in begin te veel deed want dan wordt het lastig om in te zien dat een ruimte van dimensie 10 gemakkelijk kan.

Indien men over twee vectoren onderling iets te weten wil komen dan kan men een inwendig product definiëren wat een verband tussen twee vectoren Definieert. Ze staan loodrecht op mekaar of nog ze hebben niets met elkaar te maken of net niet dergelijke interpretatie kan je aan zo’n functie toekennen in een zeker geval.

Ik hoop dat je er wat aan hebt mss wat slordig verwoord. Groeten.

#10

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 april 2007 - 09:57

:( is geen vectorruimte, van de getallenverzamelingen zijn alleen :? en :( vectorruimten...

:P is een vectorruimte over :P. Belangrijk is te vermelden over welk veld je de vectorruimte wenst.

#11

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 mei 2007 - 09:07

Nog twee vragen:

Matrix vermenigvuldiging:
Zoals je weet kan men twee matricen, waarbij de aantal rijen bij de één gelijk is aan de aantal kolommen bij de ander vermenigvuldigen.
Nu vraag ik me af: is matrix vermenigvuldiging zo gedefinieerd, of kan je deze vermenigvuldigingsvorm afleiden?
Dot product:
De dot product is in feite niks anders dan een speciale soort matrix vermenigvuldiging,- maar waarom mag je eigenlijk twee kolom ( of twee rij ) vectoren vermenigvuldigen. Ik zou zeggen, uitgaande van hoe je matricen met mekaar vermenigvuldigd,- dat enkel de dot product van twee vectoren waarbij de één kolom, en één rij vector is, is gedefinieerd.
Mag je zomaar een kolom vector voor rij vector zien?
mvg,
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#12

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 mei 2007 - 10:28

Matrixvermenigvuldiging vloeit voort uit het rekenen met stelsels van lineaire combinaties.
Veronderstel 2 lineaire combinaties A en B, en A :( B = C
LaTeX en LaTeX
De j-de vergelijking van het eerste stelsel kan je dan schrijven als
LaTeX
De i-de vergelijking van het tweede stelsel als
LaTeX
Als je dan LaTeX in die van LaTeX substitueert
LaTeX

Hier haal je dan uit dat
LaTeX oftwel c_ik (het element in C op de i-de rij en k-de kolom) = (i-de rij van B) :( (k-de kolom van A)

Hier herken je het inproduct in tussen een rijvector van B en een kolomvector van A. Je ziet dan ook onmiddellijk waarom A en B op elkaar moeten zijn afgestemd. Je hebt hier het inproduct nodig voor het vermenigvuldigen van twee matrices. Als je een zinvol product wil moet het aantal kolommen van B = aantal rijen van A. Dit (waarom een kolom- en een rijvector) is echter alleen voor matrices. Het standaard in product voor twee vectoren in LaTeX met vectoren LaTeX en LaTeX is gewoon LaTeX

Veranderd door Rov, 02 mei 2007 - 10:29


#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 mei 2007 - 11:03

Ik vind dat de matrixvermenigvuldiging natuurlijker is uit te leggen aan de hand van lineaire transformaties. Zoals je wellicht gezien hebt, kan je met elke lineaire afbeelding (of transformatie) een matrix laten overeenkomen en omgekeerd. Stel je hebt twee transformaties S en T (een schaling en een draaiing bijvoorbeeld) en je laat de samenstelling los op een vector. De matrixvoorstelling van de samengestelde transformatie, is dan precies degene die je krijgt met de matrixvermenigvuldiging zoals ze gedefinieerd is.

Over het scalair product, wat is het probleem met een bewerking te definiëren tussen twee vectoren? Het is een afbeelding VxV->K met V de vectorruimte en K het veld (getallenlichaam), dat heeft verder met matrices niets te maken. Naast het scalair product, heb je bijvoorbeeld het vectorieel product, dat gaat VxV->V.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 mei 2007 - 08:34

zo kan je een matrix vermenigvuldiging defenieren:
Geplaatste afbeelding

Waarbij A de matrix is die de lin afbeelding tussen v en w voorstelt en B de matrix met de afbeelding van w naar x. men gaat zich dan afvragen wat de afbeelding is tussen de "eerste" en de laatste "ruimte" en men bekomt:

Geplaatste afbeelding

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 mei 2007 - 16:06

Dat is precies de matrix van de samenstelling van twee lineaire afbeeldingen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures