[bewijs] het bepalen van een polynoom

A.Square

Stelling:

Een polynoom van graad n wordt uniek bepaald door n+1 willekeurige, verschillende punten die er deel van uitmaken.

Ik schrijf een verslag over secret sharing, en daarvoor heb ik bovenstaande stelling nodig.

Ik kan deze bewijzen met een vandermonde-matrix, maar dat zie ik niet echt zitten omdat die pas helemaal aan het einde van mijn verslag tevoorschijn komt. En deze stelling poneer ik natuurlijk al aan het begin.

Weet iemand een bewijs dat daar geen gebruik van maakt?

Ik heb inductie over n geprobeerd, maar daar kom ik niet echt uit.

PeterPan

Als voorbeeld, gegeven 4 verschillende punten

\((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)\)

.

Ik geef nu een polynoomfunctie van graad 3 waar deze punten op liggen.

Zeg

\(z_1 = (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)\)

\(z_2 = (x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)\)

\(z_3 = (x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)\)

\(z_4 = (x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)\)

\(f(x) = (x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\frac{y_1}{z_1} + (x-x_1)(x-x_3)(x-x_4)\frac{y_2}{z_2} + (x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)\frac{y_3}{z_3} + (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\frac{y_4}{z_4}\)

Ga na dat

\(f(x)\)

een polynoomfunctie is van graad 3 waar die 4 genoemde punten op liggen.

A.Square

Poeh ... dat leek even zomaar uit de lucht te vallen.

Maar wat je beschrijft is de Langrange-methode (volgens google).

Hier heb ik veel aan, bedankt!

Andy

Het kan toch algemener en korter (nuja, vanaf stap 1 kunt ge een andere stelling gebruiken)?

polynoom van nde graad:

a_n x^n + a_{n-1} + x^{n-1} + ... + a1 x + a0=y

onbekenden: a_i met i=0..n, dit zijn n+1 onbekende coëfficienten => men heeft n+1 voorwaarden (x,y-koppels dus) nodig om al deze coefficienten eenduidig te bepalen.

eendavid

dan moet je aantonen dat een vandermondematrix inverteerbaar is, wat TS expliciet aangaf niet te appreciëren.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[bewijs] het bepalen van een polynoom

[bewijs] het bepalen van een polynoom

Re: [bewijs] het bepalen van een polynoom

Re: [bewijs] het bepalen van een polynoom

Re: [bewijs] het bepalen van een polynoom

Re: [bewijs] het bepalen van een polynoom