Springen naar inhoud

Functie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2007 - 11:54

Een vraagje:

Gegeven is een functie f:[0,1[ -> [0,1[ met de eigenschap dat f monotoon stijgend is.

Toon aan dat de verzameling f([0,1[) een supremum s heeft.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2007 - 14:30

Is dat niet gewoon f(1)? Voor alle x uit [0,1] geldt f(x)<f(1). Dus f(1) is een bovengrens. Maar f(1) is ook meteen de laagste bovengrens want neem je y<f(1) dan is dat geen bovengrens meer (immers f(1)>y). f(1) is een maximum en dus ook het supremum.

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 25 april 2007 - 15:34

Is dat niet gewoon f(1)? Voor alle x uit [0,1] geldt f(x)<f(1). Dus f(1) is een bovengrens. Maar f(1) is ook meteen de laagste bovengrens want neem je y<f(1) dan is dat geen bovengrens meer (immers f(1)>y). f(1) is een maximum en dus ook het supremum.

Wel supremum maar geen maximum, als ik tenminste de notatie [0,1[ goed begrijp.

#4

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2007 - 15:54

Ja vandaar mijn "is het niet gewoon". De notatie [0,1[ ken ik niet. Ik ben gewend om [0,1] te gebruiken als 1 er wel bijhoort en [0,1> als dat niet zo is. In dat laatste geval is het inderdaad geen maximum. Maar dan wordt ook de vraag moeilijker. f(1) bestaat dan niet. En over f is verder ook niets gezegd. Niet continu b.v.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 april 2007 - 16:23

Ja vandaar mijn "is het niet gewoon". De notatie [0,1[ ken ik niet. Ik ben gewend om [0,1] te gebruiken als 1 er wel bijhoort en [0,1> als dat niet zo is.

Die notaties zijn hetzelfde, internationaal wordt [0,1) gewoonlijk gebruikt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2007 - 16:38

De opgave komt rechtstreeks uit mijn boek. Meer informatie is niet gegeven. De opgave moet zo dus te maken zijn. De notatie [0,1[ betekent dat 1 er niet bij hoort. Wat is dan de oplossing van dit vraagstukje?

#7

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2007 - 16:38

OK, maar dan nu de vraag: Is er een deelverzameling van [0,1[ die a)wel een bovengrens heeft maar b) geen supremum. En c) is er dan een (monotoon stijgende) functie die dat als beeld heeft. In dat geval heb je een tegenvoorbeeld.

Deel a) is wel in orde (die zal ik er zelf maar in schoppen). Want 1 is een bovengrens.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 april 2007 - 17:07

Er werd toch ook gevraagd naar het supremum, niet het maximum? Dan lijkt me f(1) juist.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2007 - 17:32

Ja, maar x=1 zit toch niet in het domein van f?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 april 2007 - 17:38

Ach zo, uiteraard. Indien f continu:

LaTeX

Rechterlimiet in feite.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2007 - 17:38

O, ik zie het al. Elke niet lege naar boven begrensde verzameling heeft een supremum (tenminste als ik er vanuit ga dat de wikipedia in deze gelijk heeft). Ik meende me al zoiets te herinneren. Alleen wil me nog niet te binnen schieten waarom dat zo is.

Dan wordt de opgave weer heel simpel. f([0,1]) of f([0,1[) of f([0,1>) of f([0,1)) (wat je maar wilt) is een 1) niet lege deelverzameling van [0,1], die naar 2) boven begrensd is (M=1) en heeft dus een supremum. f hoeft daarvoor niet eens stijgend te zijn.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 april 2007 - 17:40

O, ik zie het al. Elke niet lege naar boven begrensde verzameling heeft een supremum (tenminste als ik er vanuit ga dat de wikipedia in deze gelijk heeft). Ik meende me al zoiets te herinneren. Alleen wil me nog niet te binnen schieten waarom dat zo is.

Die stelling klopt. Een van de meest fundamentele in de analyse nog wel, steunt op de volledigheid van de reŽle getallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2007 - 18:07

Daar was ik al bang voor. Dat wordt studeren.

#14

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 april 2007 - 19:21

Oke, hoe schrijf je dit netjes op? Graag niet de term limiet gebruiken...

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 april 2007 - 19:24

Heb je die stelling over het supremum gezien? Die is toepasbaar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures