Massatraagheidsmoment

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 28-04-'07, 09:35

Ruben01

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Massatraagheidsmoment

Hallo,

Ik heb een probleempje bij het oplossen van het volgende vraagstuk ivm massatraagheid.

Ik moet de formule opstellen voor het massatraagheidsmoment van een Torus te bepalen, voor deze opdracht te verduidelijken heb ik reeds een tekening gemaakt:

[attachment=117:Torus.GIF]

Het zwarte deel is een elementair klein deeltje van de torus en noemt Δx.

Het volume van de torus is: V=2 :D ².R .r²

Daarna ben ik als volgt te werk gegaan:
\( J= \Sigma Jx \)

\( J= \Sigma mx .x² \)

\( J= \Sigma \rho . Vx . x² \)


Nu zit ik vast bij het zoeken van Vx (het volume van het elementair deeltje Δx.

Kan er mij iemand helpen ??
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 10:51

rodeo.be

Gebruikersavatar
Berichten: 647

Re: Massatraagheidsmoment

Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Cirkelsegment

Dan heb je A in het vlak, vermenigvuldig dat met 2 Pi x en hebt de inhoud van dat stukje donut
???
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 10:56

Sjakko

Berichten: 1.007

Re: Massatraagheidsmoment

Voor de cirkel geldt:
\(\left( x-R \right) ^2 + y^2=r^2\)
dus
\(y=\pm \sqrt{r^2- \left( x-R \right)^2}\)

\(V_{x}=(2 \pi x)(2y)dx\)
dus
\(V_{x}=\sqrt{r^2- \left( x-R \right)^2} (4 \pi x)dx\)


x laat je dan lopen van R-r tot R+r.
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 11:54

Ruben01

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Massatraagheidsmoment

Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Cirkelsegment

Dan heb je A in het vlak, vermenigvuldig dat met 2 Pi x en hebt de inhoud van dat stukje donut

Dit bericht is bewerkt door rodeo.be: Vandaag, 10:52
Hieraan heb ik niet zoveel denk ik!!

De post van Sjakko ziet er wel handig uit.
\( J= \Sigma Jx \)
\( J= \Sigma mx .x² \)
\( J= \Sigma \rho . Vx . x² \)
met
\(\left( x-R \right) ^2 + y^2=r^2\)
\(\left( x-R \right) ^2 + y^2=r^2\)
\(V_{x}=(2 \pi x)(2y)dx\)
\(V_{x}=\sqrt{r^2- \left( x-R \right)^2} (4 \pi x)dx\)
dus
\( J= \rho . \int\limits_R-r^R+r {(\sqrt{r^2- \left( x-R \right)^2} (4 \pi x)).x² . dx} [\tex]

Hoe moet ik deze integraal oplossen, ik kan wel integreren maar deze lukt niet echt !!

(De vergelijking lukt precies ook niet en ik vind de fout niet :D ??:\)
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 13:29

Ruben01

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Massatraagheidsmoment

\( J= \rho . \int \limits_{R-r}^{R+r} {(\sqrt{r^2- \left( x-R \right)^2} (4 \pi x)).x² . dx} \)


Bedankt Morzon, stom van mij dat ik ervover heb gekeken.

Het probleem is dat ik bij een topic die ikzelf gestart heb nooit een nieuw antwoord kan posten (ik moet dus altijd snel antwoord nemen) en daarbij is geen voorbeeld functie!
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 13:30

Sjakko

Berichten: 1.007

Re: Massatraagheidsmoment

ja dit is best een beest, misschien kun je substitueren en dan poolcoördinaten o.i.d?
\(I=\int x^2 dm\)
met
\(dm=\rho dV= 2 \pi x dA\)
dus
\(I=2 \pi \rho \int_{D} x^3 dA\)
met
\(D=\left(x-R \right)^2 +y^2 \leq r^2\)
Nu substitueren:
\(u=x-R\)
dus
\(I=2 \pi \rho \int_{D} (u+R)^3 dA\)
met
\(D=u^2 +y^2 \leq r^2\)
Nu poolcoördinaten:
\(u= \phi cos \theta \)
\(y= \phi sin \theta \)
\( u^2+y^2= \phi^2\)
\(I=2 \pi \rho \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{r} ( \phi cos \theta +R)^3 \phi d \phi d \theta\)
Nu dit uitwerken (veel werk).
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 13:42

Ruben01

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Massatraagheidsmoment

Ik kan niet echt volgen :-?

De vorige werkwijze was dus niet goed, want je begint gans opnieuw ??
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 13:47

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Massatraagheidsmoment

\( 4 \pi \rho \int \limits_{R-r}^{R+r} x^3 \sqrt{r^2- ( x-R)^2} \ dx \)
\(x-R=r \sin{t} \Leftrightarrow dx=r \cos{t} \ dt\)
\(4 \pi \rho r^2 \int (\sin{t}+R)^3 \cdot \cos^2{t} \ dt \)


zo moet het het ook lukken.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 13:47

Sjakko

Berichten: 1.007

Re: Massatraagheidsmoment

De vorige werkwijze is wel goed, maar die integraal is gewoon (voor mij) te lastig om op te lossen, dus probeer ik het op een andere manier. Er zal ongetwijfeld een makkelijkere manier zijn, maar ben geen wiskundige.
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 14:09

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Massatraagheidsmoment

Als die integraal niet lukt moet je het maar zeggen hoor.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 14:13

Ruben01

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Massatraagheidsmoment

Ik heb geprobeert met de methode van Morzon omdat deze maar 1 integraal bevat:
\(4 \pi \rho r^2 \int (\sin{t}+R)^3 \cdot \cos^2{t} \ dt \)
\(4 \pi \rho r^2 \int ((\sin{t}+R) \cdot \sin{t}^2 + R \cdot \sin{t} + R^2) \cdot \cos^2{t} \ dt \)
\(- \cos{t}^3 * ( \frac {4R^2 \pi \rho \cdot \sin{t}^2}{5} +3R^3 \pi \rho \cdot \sin{t} + \frac{4R^2 \pi \rho \cdot (15R^2 +2)}{15}) + \frac {R^3 \pi \rho \cdot (4R^2 +3) \cdot \sin{t} \cdot \cos{t}}{2} + \frac{R^3t \pi \rho \cdot (4R^2 + 3)}{2} \)
Is dit juist ??

Wat is de volgende stap, verder kan je dit toch niet meer uitwerken of kijk ik ergens over ??
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 14:33

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Massatraagheidsmoment

oke vul nu de grenzen in:
\(x-R=r \sin{t}\)
dus
\(R-r=- \frac{\pi}{2}\)
en
\(R+r=\frac{\pi}{2}\)


ik weet niet of je ergens het antwoord hebt, maar na uitwerken krijg ik
\(1/2\,{\pi }^{2}\rho\,{r}^{2}R \left( 3+4\,{R}^{2} \right)\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 15:04

Ruben01

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Massatraagheidsmoment

Mijn antwoord trekt heel goed op het jouwe Morzon maar er is wel een verschilletje, ik snap niet goed hoe je terug aan r komt, wanneer ik mijn grenzen invul krijg ik:
\(1/2\,{\pi }^{2}\rho\,{R}^{3} \left( 3+4\,{R}^{2} \right)\)
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 15:10

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Massatraagheidsmoment

wat heb je met r^2 voor de integraal teken gedaan?
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 28-04-'07, 15:22

Ruben01

Gebruikersavatar
Berichten: 2.902

Re: Massatraagheidsmoment

wat heb je met r^2 voor de integraal teken gedaan?
Over het hoofd gezien, ik had er perongelijk ook een grote R van gemaakt, dommerik dat ik ben :-?

Bedankt voor de fantastische hulp !! :D
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”