Dubbele integraal

flamey

Hey, ik stuit tegen het volgende probleem:

\(\int\limits_\frac{{1}}{{2}}^2{\int\limits_\frac{{1}}{{x}}^{\frac{{5}}{{2}}-x}{ln(x)dy}dx}\)

Ik kies ervoor om eerst naar y te integreren en vervolgens naar x. Het probleem is dan dat ik de volgende uitdrukking krijg:

\(\int\limits_\frac{{1}}{{2}}^2{((\frac{{5}}{{2}}-x)ln(x)-\frac{{1}}{{x}}ln(x))dx}\)

Deze integraal splits ik vervolgens op:

\(\int\limits_\frac{{1}}{{2}}^2{(\frac{{5}}{{2}}-x)ln(x)dx}-\int\limits_\frac{{1}}{{2}}^2{\frac{{1}}{{x}}ln(x)dx}\)

Het rechterdeel is nog wel uit te rekenen met partieel integreren. Dit lukt echter niet bij het linkerdeel. Kan iemand me misschien helpen?

oscar2

Volgens mij bedoel je dat het linkerdeel te doen is door partieel integreren.

Maar goed:

ln(x)dx = d(xln(x)-x)

xln(x)dx = d(2x^2ln(x)-x^2)/4

(ln(x)/x)dx = d(ln(x))^2/2

met excuus voor de notatie

Ruben01

Dit hoort volgens mij thuis in de topic integraalrekening !!!

TD

Die topic is eerder bedoeld voor de "routineintegralen" (enkelvoudig, niveau middelbaar onderwijs, al mag moeilijker daar ook).

Het linkerdeel bestaat uit twee termen die elk met partiële integratie kunnen gevonden worden. Degene met de factor 5/2 (kan je vooraan zetten) is gewoon ln(x) integreren, kies f = ln(x) en dg = dx, je vindt dan de eerste regel van oscar2 hierboven. Voor x.ln(x) kies je f = x en dg = ln(x)dx, waarbij je voor het integreren van dg bovenstaand resultaat kan gebruiken.

flamey

Hallo iedereen,

Ik bedoelde dat het rechterlid met partieel integreren opgelost kon worden, niet het linkerlid. Dit was dus geen typfout. Bij nader inzien zijn beide leden partieel op te lossen. Voor de volledigheid zal ik dit even uitwerken:

Linkerlid (partieel integreren)

\(\int\((\frac{{5}}{{2}}-x)ln(x)dx\)

\(=(\frac{{5}}{{2}}x-\frac{{1}}{{2}}x^2)ln(x)-\int\frac{{1}}{{x}}(\frac{{5}}{{2}}x-\frac{{1}}{{2}}x^2)dx\)

\(=(\frac{{5}}{{2}}x-\frac{{1}}{{2}}x^2)ln(x)-\frac{{5}}{{2}}x+\frac{{1}}{{4}}x^2+C\)

Rechterlid:

\(\int\frac{{1}}{{x}}ln(x)dx=(ln(x))^2-\int\frac{{1}}{{x}}ln(x)dx\)

Tweede term rechts naar linkerkant brengen:

\(2\int\frac{{1}}{{x}}ln(x)dx=(ln(x))^2\)

\(\int\frac{{1}}{{x}}ln(x)dx=\frac{{1}}{{2}}(ln(x))^2+C\)

Deze twee toepassen op de dubbele integraal en invullen van de grenzen levert op:

\(\int\limits_\frac{{1}}{{2}}^2{\int\limits_\frac{{1}}{{x}}^{\frac{{5}}{{2}}-x}{ln(x)dy}dx}=\frac{{33}}{{8}}ln(2)-\frac{{45}}{{16}}\)

Morzon

ziet er goed uit

TD

De uitwerking klopt, resultaat ook.

Merk op dat het rechterlid eenvoudiger gaat zonder partiële integratie:

\(\int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \int {\ln xd\left( {\ln x} \right) = \frac{{\ln ^2 x}}{2}} + C\)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Dubbele integraal

Dubbele integraal

Re: Dubbele integraal

Re: Dubbele integraal

Re: Dubbele integraal

Re: Dubbele integraal

Re: Dubbele integraal

Re: Dubbele integraal