Krommes en afgeleiden

oktagon

Een ander geintje,ontdekt via een oud programma MathCad-plus,dat antwoorden produceert:

\(\int x^\pi dx \)

van 0 tot 123 =

\(1092 ^8\)

Kon niet (toch wel!)aanvullen dus een nieuwe ontdekking :

\(\int\limits_0^{123}{x^\pi}dx\)

=

\(1092^8\)

TD

Moet bij de uitwerking van de integraal alleen bij de bintegraal de dx worden vermeld en geldt die dan zowel voor de a integraal als de b integraal.

Nee, per integraalteken hoort een dx, ik was die bij het opsplitsen vergeten in de eerste integraal. Inmiddels toegevoegd in m'n oorspronkelijke post, sorry voor de verwarring

Wel opletten bij je voorbeeld. De uitkomst is bij benadering 1.092*10^8, niet wat jij schrijft.

\(\int\limits_0^{123} {x^\pi dx} = \left[ {\frac{{x^{\pi + 1} }}{{\pi + 1}}} \right]_0^{123} = \frac{{123^{\pi + 1} }}{{\pi + 1}} \approx 1.092 \cdot 10^8 \)

oktagon

Ook ik doe wel eens wat fout en vergat in mijn ijver de 10 te vermelden.

Verdere vraag: kun je via de een of andere vorm van integreren ook een ruimtelijke lijn (baan in het heelal!) of een volume berekenen?

TD

Bedoel je dan de lengte van die kromme? Ja hoor, en oppervlakten, volumes, ...

Als je (ruimtelijke) kromme in parametervorm gegeven is:

\(\vec r\left( t \right) = \left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\)

Dan is de booglengte van de kromme tussen twee punten r(a) en r(b) gelijk aan:

\(\ell = \int\limits_a^b {\sqrt {\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dz}}{{dt}}} \right)^2 } } dt\)

Voor een functie gegeven als y = f(x) herleid zich dit tot:

\(\ell = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + f'\left( x \right)^2 } } dx\)

oktagon

Mijn laatste bedankje kwam helemaal niet over,dus bij dezen;mijn inzicht in de "hogere wiskunde"komt al een stuk sneller terug!

Alleen,wat stelt de "t " en de "r met de pijl"voor?

TD

Dat is wanneer je kromme gegeven is als parametervergelijking.

Bijvoorbeeld voor een cirkel met straal r: x = r.cos(t) en y = r.sin(t).

Phys

De t wordt (fysisch) geïnterpreteerd als tijd: x en y variëren met de tijd.

Het pijltje boven de r geeft aan dat het een vector is.

Rov

Je hebt een vector \(\vec r\), en die heeft in de ruimte drie (x,y en z) componenten die afhangen van een parameter (zoals Phys zegt, binnen de fysica vaak de tijd).

Dus als je de positie van r op tijdstip t = 1 wil weten, dan is dit

\( \vec{r}(1) = \left( x(1),y(1),z(1) \right)\)

.

oktagon

Phys en Rov,bedankt voor de ondersteuning!

oktagon

Wat stelt "de primitieve"in de volgende uitleg voor;waar komtie vandaan?

TD schreef:Om de bepaalde integraal (= integraal met grenzen) uit te rekenen, bepaal je eerst een primitieve van de te integreren functie. We noemen F een primitieve van f, als de afgeleide van F gelijk is aan f. Inderdaad, de "omgekeerde" weg van afleiden. Zo'n primitieve van f = x² is F = x³/3, omdat je x² krijgt als je x³/3 afleidt.

Om tenslotte de integraal uit te rekenen moet je die primitieve nemen in de bovengrens. Hiervan trek je de primitieve in de ondergrens af, en dat is je bepaalde integraal. Symbolisch, met F een primitieve van f:

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right) \mbox{d} x} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

TD

Vraag je je af wat "primieve" betekent? Dat staat in de quote.

De functie F is een primitieve van f, als F' = f, dus de afgeleide van F is f.

oktagon

Wat stelt F als primitieve grafisch voor dus F =

\(\frac {x^3}{3}\)

of mag/kun je dat niet als kromme voorstellen?

TD

Je mag dat zeker zien als een functie, dus de grafiek als een kromme.

Het is de kromme waarvan de afgeleide functie, de oorspronkelijke functie f is.

oktagon

Dus je hebt een krommeverzameling van de raaklijnen aan de oorspr.kromme ofwel omgekeerd?

TD

Geen raaklijnen, dat zijn alle lijnen met als richtingscoëfficiënt de afgeleide van de functie.

Gegeven een primitieve F en van f, dan is f de afgeleide functie van F.

[graph=-5,5,-5,5] '2*x', 'pow(x,2)' [/graph]

De groene is de primitieve van de blauwe. Op elk punt x = a stelt f(a) dus F'(a) voor, de afgeleide van F in a.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden

Re: Krommes en afgeleiden