Wetenschapsforum

Eeuwen gelden leerde ik "hogere wiskunde" met diff. en integr.rekening;een paar vragen van hetgeen ik kwijt ben:

Een kromme y= en de afgeleide is y'= y geeft een punt in de kromme aan op de afstand x^2 boven dat punt en y' is tg.van de raaklijn in dat punt aan die kromme,oke!

op het punt waar x=1 is y dus 1 en y'=2x=2;ik zie daar die raaklijn niet zitten,wel verder bij x=2, etc.

Vervolgens zou de tweede afgeleide y"=2 zijn en wat stelt die(dat) voor in deze context?

En dan een oppervlakteberekening van die functie,gaat via integraal,graag een eenv.bewerking van bijv.van x=0 tot x=4.

Kun je ook een krommelengte berekenen van bijv.x=0 tot x=4 ?

De afgeleide is slechts de rico, de mate van de stijging die de raaklijn heeft. De werkelijke raaklijn heeft als vergelijking
in het punt De tweede afgeleide zegt waar er buigpunten zijn. De nulpunten van de tweede afgeleide zijn punten waar het teken (+ of -)van rico van de raaklijn verandert. De vgl y=x² heeft geen buigpunten. Een tweede afgleide heeft dus geen nut hier.

De oppervlakte onder de grafiek van x=0 tot x=4. vindt je zo:
De lengte van de functie over een bepaalde afstand vindt je door deze formule.
Denk je dat je die zelf kan?

Graag nog even wat verder;voor mij is duister hoe je de integraal uitwerkt in een reeel antwoord;overigens al vast mijn dank voor de snelle reactie.Met repetities vroeger haalde ik of drieen en vieren of tienen,dus het begrip zat niet erg diep.Gelukkkig was het geen hoofdvak en slofte ik door dit onderdeel heen,met de rest haalde ik wel een gemiddelde van 7,8 over 26 vakken!

De afgeleide stelt in elk punt de richtingscoëfficiënt van de raaklijn voor.

Dus, met y = x² en y' = 2x, heb je in x = 1 een raaklijn met een rico van 2.

[graph=0,4,0,8] 'pow(x,2)','2*x-1' [/graph]

Als je de afgeleide zelf als functie ziet, is de tweede afgeleide voor de eerste, zoals de eerste voor de oorspronkelijke functie is. De tweede afgeleide levert je informatie over de kromming (is de oorspronkelijke kromme "hol" of "bol").

Begrijp je de integraalberekening van de oppervlakte al?

Hallo TD,produceer jij niet een kunstje met die raaklijn in punt x=1 en y=1 met de kromme y=x^2,door de schaal van de x-as te verdubbelen tov de y-as.

Overigens ook jij bedankt,de oppervlakteberekening kan ik nu via het voorbeeld makkelijker tot me laten doordringen;ik ben iemand met een gecombineerd geheugen van visueel en auditief,text lezen levert me barrieres op bij het opslaan in mijn geheugen (dus pompen);vandaar dat al mijn studies me gemiddeld vier a zes uur vrije tijd kostten voordat ik alles naar diplomas kon leiden.

Hallo TD,produceer jij niet een kunstje met die raaklijn in punt x=1 en y=1 met de kromme y=x^2,door de schaal van de x-as te verdubbelen tov de y-as.

Nee hoor, herschalen verandert niets aan het feit dat die kromme raakt en niet aan de rico.

Met gelijke schaal:

[graph=0,6,0,6] 'pow(x,2)','2*x-1' [/graph]

Hoe "tover" je die integraal (in kan LATEX niet meer bereiken na jullie vernieuwing) van 0 tot 4 en dan van de functie y=x^2 om naar x^3 dx; is dat de omgekeerde weg van de afgeleide,daar maak je via y' = n x^(n-1) de afgeleide uit y=x^n ? Graag weer voorbeeld!

Sorry voor de mogelijk stupide vragen,maar ik heb geen energie meer om de oude studieboeken van diff.en integr.rekening door te worstelen,heb al weer veel opgestoken het laatste jaar met mijn deelname aan dit forum.Oude herinneringen kwamen weer bovendrijven en er kon nieuwe info aan worden toegevoegd.

Om de bepaalde integraal (= integraal met grenzen) uit te rekenen, bepaal je eerst een primitieve van de te integreren functie. We noemen F een primitieve van f, als de afgeleide van F gelijk is aan f. Inderdaad, de "omgekeerde" weg van afleiden. Zo'n primitieve van f = x² is F = x³/3, omdat je x² krijgt als je x³/3 afleidt.

Om tenslotte de integraal uit te rekenen moet je die primitieve nemen in de bovengrens. Hiervan trek je de primitieve in de ondergrens af, en dat is je bepaalde integraal. Symbolisch, met F een primitieve van f:

Bedankt voor de info,ik dacht intussen na,kreeg een beetje het AhHa-Erlebniss,greep in mijn oude boek en zag aldus:

Integraal(x^n dx)=x^(x+1)/n+1 + C (behalve n=-1)

Ik ga deze formule eens uittesten op diverse functies!

Behalve n = -1, waarschijnlijk.

Waarom klopt die formule? Wel, even afleiden:
Het bijzonder geval van exponent -1, dus functie 1/x:

Waar komt die eerste "n" na de = vandaan?

Ik dacht dat de afleiding een resultaat opleverde van {(n+1)/(n+1)} * x^n = x^n ?

Die n+1 komt van de exponent, regel bij het afleiden:
Ik had het wel slordig genoteerd, haakjes toegevoegd.

Dat was het idd,bedankt!

Neem daar nog de lineariteit van de integraal bij:
Met a,b getallen en p(x),q(x) functies, en je kan alle veeltermen integreren (primitieve vinden).

Moet bij de uitwerking van de integraal alleen bij de bintegraal de dx worden vermeld en geldt die dan zowel voor de a integraal als de b integraal.

Sorry voor deze primitieve uitleg,tot de modificatie van dit forum kon ik met Latex werken omdat die bereikbaar was;is nu voor mij niet te bereiken en moet ik bij eenvoudiger formules uit mijn "hoofd"iets fabriceren!