Gemiddelde waarde

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 04-05-'07, 12:11

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Gemiddelde waarde

gisteren vroeg ik mij dit af

men heeft deze ellips
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 \cos t\\y = \sin t \end{array} \right.\)
beschouw nu twee punten
\(P_1\)
&
\(P_2\)
op de ellips,

wat is dan de gemiddelde opp van de driehoek
\(P_1 P_2 O\)


'k heb gepoogd een oplossing te vinden, maar ik kom 0 uit
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 04-05-'07, 12:35

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Gemiddelde waarde

De betekenis van je vraag ontgaat mij.

Als men de poolcördinaten van
\(P_1\mbox{ en } P_2\)
kent kan men de oppervlakte van de gevraagde driehoek berekenen met formule goniometrie. Maar de gemiddelde waarde?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 04-05-'07, 12:49

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Gemiddelde waarde

P1 doorloopt alle posities terwijl P2 hetzelfde doet

dan krijg ik voor de opp een functie met 2 variablen, maar kan ik daarvan de gemiddelde waarde vinden

sorry, vraag slecht gesteld
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 04-05-'07, 13:18

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Gemiddelde waarde

Misschien even die functie met 2 veranderlijken opschrijven?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 04-05-'07, 13:28

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Gemiddelde waarde

ok ik beschouw nu even enkel de bovenkant van de ellips anders wordt het vrij ingewikkeld
\(P_1 ( 2 \cos a, \sin a)\)
\(P_2 ( 2 \cos b, \sin b)\)
dan kom ik op een trapezium - 2 driehoekjes

voor het trapezium
\((\sin a + \sin b) (2 |\cos a| + 2|\cos b|) /2\)
de driehoeken
\(|\cos a| \sin a\)
&
\(|\cos b| \sin b\)
dan is
\(S(a,b) = (\sin a + \sin b) ( |\cos a| + |\cos b|) -|\cos a| \sin a-|\cos b| \sin b =\sin a |\cos b| + \sin b |\cos a|\)
met
\(0 < a,b < \pi\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 04-05-'07, 17:58

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Gemiddelde waarde

Ik zou de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten
\( O\mbox{P_1P_2}\)
berekenen met de de formule
\(\frac{1}{2}\mbox{OP_1.OP_2}\vert\sin{(a-b)}\vert}\)
.Hoe ge nu de gemiddelde waarde gaat berekenen van die driehoeken als 0<a,b<pi dat is nog wat anders.Jouw manier met dat trapezium zie ik niet goed zitten.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 08:55

PeterPan

Re: Gemiddelde waarde

Dat hangt af van de manier waarop die 2 punten op de ellips worden gegenereerd. Zomaar enkele manieren:

Manier 1: We tekenen ad random een snijlijn door de ellips.

Manier 2: We kiezen ad random 2 punten binnen de ellips en tekenen een lijn door die punten en genereren zo 2 random punten op de ellips.

Manier 3: We nemen een vast punt A op de ellips en teken er ad random een lijn door heen voor een tweede snijpunt.

Tot slot integreren we over alle punten A en delen door de omtrek.

enz. enz.

Al deze manieren geven een ander antwoord.

Overigens, dit soort problemen zijn uiterst complex.

Zie hier voor een leerzaam voorbeeld.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 09:55

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Gemiddelde waarde

Dat hangt af van de manier waarop die 2 punten op de ellips worden gegenereerd.
Ik denk dat de oorspronkelijke poster het gemiddelde oppervlak van alle mogelijke driehoeken 'op' de ellips wil weten. Volgens mij is het dan niet relevant hoe je de punten kiest (er even vanuit gaande dat zeggen "we zitten in \(\rr^2\)" niet beschouwd wordt als punten kiezen). Ik denk dan ook dat het antwoord \(\frac{2}{\pi}\) is.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 09:56

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Gemiddelde waarde

@PeterPan: zo bedoel ik het eigenlijk (manier 3), is dit dan mogelijk

@Kotje: aan die formule heb ik niet gedacht

@EvilBro: ik denk ook niet dat dat uit maakt, maar op de 2 andere manieren hebje de mogelijkheden meerdere malen

hoe kom je op
\(\frac{2}{\pi}\)
is dat in de veronderstelling dat P1 alle posities doorloopt, waarbij voor elke positie P2 hetzelfde doet?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 10:05

PeterPan

Re: Gemiddelde waarde

@EvilBro: ik denk ook niet dat dat uit maakt, maar op de 2 andere manieren heb je de mogelijkheden meerdere malen
Ik weet vrijwel zeker dat dat wat uit maakt.

Zie nogmaals hier voor het standaardvoorbeeld.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 10:06

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Gemiddelde waarde

ok PeterPan, je hebt me overtuigd, dus ga ik de vraag herformuleren

... P1 alle posities doorloopt, waarbij voor elke positie van P1 P2 hetzelfde doet
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 10:35

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Gemiddelde waarde

hoe kom je op
\(\frac{2}{\pi}\)
is dat in de veronderstelling dat P1 alle posities doorloopt, waarbij voor elke positie P2 hetzelfde doet?
Ja. Was dat niet wat je in gedachte had?
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 10:54

PeterPan

Re: Gemiddelde waarde

jhnbk schreef:ok PeterPan, je hebt me overtuigd, dus ga ik de vraag herformuleren

... P1 alle posities doorloopt, waarbij voor elke positie van P1 P2 hetzelfde doet
Een oplossing kun je op je buik schrijven. Dit zijn zeer ingewikkelde problemen.

De meeste van dit soort problemen beperken zich tot cirkels en regelmatige veelhoeken.

De oplossingen zijn dan vaak hoogstandjes.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 11:02

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Gemiddelde waarde

ok, als jullie zeggen dat het niet lukt dan lukt het niet :wink:

jammer
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 11:18

PeterPan

Re: Gemiddelde waarde

Een aardige eigenschap: De kansdichtheidsfunctie voor de afstand van twee random punten binnen een cirkel met straal R is
\(p(x)=\frac{2x}{R^2}[\frac{2}{\pi}\arccos(\frac{x}{2R}) - \frac{x}{\pi R}\sqrt{1-\frac{x^2}{4R^2}}]\)
Toepassingen zijn vaak medisch (celbiologie).

Een beter te behappen probleempje is het volgende:

Je laat een punt
\(P=(P_x(t),P_y(t))\)
over de ellips lopen. Een punt
\(Q = (Q_x(t),0)\)
bevindt zich constant op afstand 1 van punt
\(P\)
en ligt altijd op de x-as.
\(|Q_x(t)|\leq|P_x(t)|\)
voor alle t.

De lijnstukjes van lengte 1 zijn raaklijnen aan een kromme. Wat is de vergelijking van die kromme?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”