Massamiddelpunt

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 05-05-'07, 19:20

gerdt

Berichten: 12

Massamiddelpunt

Ik zit even in de knoei met het bepalen van het massamiddelpunt van een (volle) fles wijn. Ik beschouw het onderste deel van de fles als een cilinder met hoogte h= 19 cm en straal r= 3.5 cm. Met daar bovenop (de hals van de fles) een kegel met hoogte h= 11 cm, en straal (van het grondvlak) r=3.5 cm. Verder beschouw ik de fles als een homogene massa, geen onderscheid tussen glas, kurk of de wijn zelf (want ongeacht de kurk is alles gelijkmatig verdeeld in de fles).

Nu is het massamiddelpunt van de cilinder volgens symmetrie: (3.5; 3.5; 9.5) (oorsprong assenstelsel zie tekening (de groene lijnen))

En van de kegel: (3.5; 3.5; 2.75) (1/4 van de hoogte) (oorsprong assenstelsel zie tekening (de gele lijnen))

Nu tel ik deze op en ligt het massamiddelpunt volgens mij op (3.5; 3.5; 12.25).

Maar iets doet mij denken dat het ook (wanneer je maar 1 oorsprong neemt voor de 2 volumes (de groene lijnen)):

[Cilinder (3.5; 3.5; 9.5) + Kegel (3.5; 3.5; 21.75)]*1/2= (3.5; 3.5; 15.625)

zou kunnen zijn... Kan iemand mij even verder helpen?
fles_wijn.jpg
fles_wijn.jpg (3.61 KiB) 169 keer bekeken
Always behave like a duck - keep calm and unruffled on the surface but paddle like the devil underneath.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 20:00

Sjakko

Berichten: 1.007

Re: Massamiddelpunt

massamiddelpunt.GIF
massamiddelpunt.GIF (1.67 KiB) 186 keer bekeken


De rode stip is het massamiddelpunt van het geheel. De zwarte stippen zijn de massamiddelpunten van de cilinder en de kegel. Er moet gelden dat
\(m_{cilinder}\cdot a=m_{kegel}\cdot b\)
. Lukt hij zo?
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 20:36

gerdt

Berichten: 12

Re: Massamiddelpunt

Ja door zo het moment om het massamiddelpunt te berekenen (massa * krachtarm) benadert mijn eerste (3.5; 3.5; 12.25) oplossing bijna evenwicht(verwaarloosbaar klein verschil). Terwijl deze oplossing (3.5; 3.5; 15.625) geen evenwicht veroorzaakt. Maar het gaat er mij vooral om of de methode juist is. Ik wil maar zeggen dat als het moment nu het omgekeerde bewezen had dat ik dit even goed als "waar" had aangenomen... Is er iemand die de tweede methode kan ontkrachten ?
Always behave like a duck - keep calm and unruffled on the surface but paddle like the devil underneath.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 21:15

Sjakko

Berichten: 1.007

Re: Massamiddelpunt

gerdt schreef:Nu is het massamiddelpunt van de cilinder volgens symmetrie: (3.5; 3.5; 9.5) (oorsprong assenstelsel zie tekening (de groene lijnen))

En van de kegel: (3.5; 3.5; 2.75) (1/4 van de hoogte) (oorsprong assenstelsel zie tekening (de gele lijnen))

Nu tel ik deze op en ligt het massamiddelpunt volgens mij op (3.5; 3.5; 12.25).
Waarom zou je deze twee getallen (9.5 en 2.75) bij elkaar optellen? Ik geloof niet dat ik je begrijp. Verder lijkt je tweede methode waarbij je de massa's niet meeneemt (je neemt gewoon het midden tussen beide massamiddelpunten) wel erg grof. Als ik het uitreken met mijn methode kom ik op 3123/272 ofwel ongeveer 11.48 vanaf de groene lijnen.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 21:44

oscar2

Gebruikersavatar
Berichten: 271

Re: Massamiddelpunt

Zonder massa's wordt dit niks hoor.

De eerste methode is onzin (sorry dat ik het zo zeg, maar het is niet anders). Sjakko's formule is correct maar kan nog wel iets handiger gefromuleerd worden:
\(z = \frac{m_{cilinder}*z_{cilinder}+m_{kegel}*z_{kegel}}{m_{cilinder}+m_{kegel}}\)
Daarbij moet je de zwaartepunten van de cylinder (zcylinder) en de kegel (zkegel) wel tov van dezelfde oorsprong nemen zoals je bij methode 2 al zegt. Als de massa van de cylinder hetzelfde is als dat van de kegel kom je op methode 2. Maar dat dat is natuurlijk het geval. De cylinder (ook nog eens gevuld met wijn) is vele malen zwaarder dan de kegel (leeg).

Eens even herschrijven:
\(z = z_{cilinder}+\frac{m_{kegel}}{m_{cilinder}+m_{kegel}}(z_{kegel}-z_{cilinder})\)
, dus als de cylinder tien keer zo zwaar is als de kegel is het zwaartepunt van de hele fles ongeveer een cm boven dat van de cilinder.
Omhoog

Bericht 05-05-'07, 23:01

gerdt

Berichten: 12

Re: Massamiddelpunt

Als ik het goed voor heb komt het op dit neer:

Eerst bereken ik het volume van de cilinder en de kegel:

"(pi*r²*hoogte)" ==> cilinder: Π * (3.5cm)² * 19cm = 731.2 cm³

"(pi*r²*hoogte)/3" ==> kegel: ( Π * (3.5cm)² * 11cm)/3 = 141.1 cm³

Vervolgens stel ik dat de cilinder (vol met wijn) massa 1 heeft (voor 100% gevuld) ==> 731.2 * 1 = 731.2

En dat de kegel massa 0.7 ( met de kurk waar geen wijn zit) heeft ( voor 70% gevuld) ==> 141.1 * 0.7 = 98.8

Nu heeft de cilinder massamiddelpunt : (3.5/ 3.5/ 9.5) (door symmetrie)

en de kegel (3.5/ 3.5/ 21.75) (1/4 van de hoogte van de kegel,
Waarom zou je deze twee getallen (9.5 en 2.75) bij elkaar optellen? Ik geloof niet dat ik je begrijp. Verder lijkt je tweede methode waarbij je de massa's niet meeneemt (je neemt gewoon het midden tussen beide massamiddelpunten) wel erg grof. Als ik het uitreken met mijn methode kom ik op 3123/272 ofwel ongeveer 11.48 vanaf de groene lijnen.
Kan je anders even uitschrijven hoe ja aan die 11,48 komt, ik kom een ander resultaat uit zoals je hierboven ziet...
Always behave like a duck - keep calm and unruffled on the surface but paddle like the devil underneath.
Omhoog

Bericht 06-05-'07, 10:44

Sjakko

Berichten: 1.007

Re: Massamiddelpunt

Ik gebruik even de methode van oscar2, dat is wat minder omslachtig.
\(z = \frac{m_{c}*z_{c}+m_{k}*z_{k}}{m_{c}+m_{k}}\)
\(m_{c}=\pi r^2 h_{c}\)
en
\(m_{k}=\frac{1}{3}\pi r^2 h_{k}\)
Invullen en
\(\pi r^2\)
wegstrepen:
\(z=\frac{h_{c}z_{c}+h_{k}z_{k}/3}{h_{c}+h_{k}/3}\)
Invullen met
\(h_{c}=19\)
\(h_{k}=11\)
\(z_{c}=9.5\)
\(z_{k}=21.75\)
Dan volgt dat
\(\frac{3123}{272} \approx 11.48\)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”