Springen naar inhoud

Flux over een bolvormig oppervlak


  • Log in om te kunnen reageren

#1

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2007 - 21:26

Gegeven het vectorveld: LaTeX
Nu moet ik de flux bepalen uit het oppervlak S: LaTeX

Hier loop ik vast. Normaal werk ik een dergelijke opgave uit door eerst het oppervlak S te parametriseren. Ik heb dit als volgt gedaan:
x= a cos u sin v
y= a sin u sin v
z=a cos v

Echter ik kom hierbij uit op een flux van LaTeX . Ik zal wel ergens een fout gemaakt hebben, maar deze is moeilijk te vinden. Nu zie ik dat de uitwerkingen een andere methode gebruikt, maar ik zie niet zo wat ze nou gedaan hebben. De enige andere methode hoe ik een flux heb leren uitrekenen is door oppervlakte S als volgt te parametriseren:
x=x
y=y
z=f(x,y).

Deze methode werkt niet omdat je de gehele bol wil hebben, dus er is geen eenduidige functie f(x,y) te vinden die het oppervlak beschrijft. Zou iemand me met dit probleem willen helpen?

Veranderd door flamey, 05 mei 2007 - 21:28


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Brinx

    Brinx


  • >1k berichten
  • 1433 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 05 mei 2007 - 21:36

Mijn eerste indruk is dat het vectorveld dat je noemt een veld beschrijft waarvoor geldt dat de lengte van de vectoren erin evenredig is met de afstand tot de oorsprong, waarin al die vectoren van de oorsprong af wijzen, en dat de lengte van de vectoren die 'aangrijpen' op het oppervlak van de bol met straal 'a' allemaal lengte a hebben.

Het oppervlak van een bol met straal 'a' is LaTeX , en omdat alle vectoren loodrecht op dat oppervlak staan en lengte 'a' hebben, kan de flux geloof ik gewoon berekend worden door dat oppervlak te vermenigvuldigen met die lengte. Dan kom ik dus op een flux van LaTeX .

Maar misschien zie ik hier iets enorm duidelijks over het hoofd!

#3

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2007 - 21:57

De gevonden flux is goed: het is inderdaad LaTeX Maar ik ben eerder benieuwd naar een andere berekeningswijze. Als het vectorveld bijvoorbeeld minder gunstig gekozen is, zou ik de flux niet uit kunnen rekenen :-( .

Veranderd door flamey, 05 mei 2007 - 21:58


#4

Brinx

    Brinx


  • >1k berichten
  • 1433 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 05 mei 2007 - 22:41

Als je wilt, kun je volgens je laatstgenoemde methode werken: parametriseer de bovenste helft van de bol door:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

en maak gebruik van symmetrie, zodat je de gevonden flux door de bovenste helft gewoon met 2 kunt vermenigvuldigen. Als je toch liever de onderste helft van de bol apart wilt doorrekenen, stel daarvoor dan een tweede parametrisering op:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

en bereken daarvoor dan opnieuw de flux.

Normaal gesproken echter lijkt het me het beste als je voor elke situatie de 'vereenvoudigende factoren' leert herkennen (de eenvoud van de bolvorm in dit geval), en daarmee veel sneller tot een oplossing kan komen.

Veranderd door Brinx, 05 mei 2007 - 22:42


#5

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2007 - 23:04

Dat is misschien wel handiger denk ik. Bedankt voor je hulp :-)

#6

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 mei 2007 - 00:38

Het gaat hier om het berekenen van een fluxintegraal:
LaTeX
Waarbij
LaTeX
is de eenheidsnormaalvector ,die loodrecht staat op het oppervlakteelement dS.
LaTeX
als de vector n een positieve z coordinaat heeft.
LaTeX
als de vector n een negatieve z-coordinaat heeft.
LaTeX
LaTeX

Ik zal morgen wel wat berekeningsvoorbeelden geven, als je dat goed vindt.

Veranderd door aadkr, 06 mei 2007 - 00:40


#7

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2007 - 02:00

Aadkr, zou je voor mij dan de situatie willen doorrekenen waarbij je oppervlakte S als volgt parametriseert?
x= a cos u sin v
y= a sin u sin v
z=a cos v

Dit is een bol met straal a. Bij deze parametrisatie kom ik niet op het goede antwoord uit. Bij het berekenen van de flux van een halve bol op de manier van Brinx kom ik wel op het goede antwoord uit.

#8

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 mei 2007 - 13:02

Verdeel het oppervlak
LaTeX
van de bol in een bovenste halve bol
LaTeX
en in een onderste halve bol
LaTeX
LaTeX
LaTeX

LaTeX
LaTeX

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

LaTeX
LaTeX

dA is een vierkant oppervlakelement dx dy
We gaan nu over op poolcoordinaten.
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Als je nu dezelfde berekening maakt voor het onderste oppervlak ( onderste halve bol) ,dan komt daar ook 2.pi.a^3 uit.
Je moet dan wel deze formule gebruiken:
LaTeX

Nu moet je de beide uitlkomsten optellen:
LaTeX

#9

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 mei 2007 - 15:11

Er zitten een paar typefouten in mijn bericht
(bedankt Phys voor de tip)
LaTeX
tussen de grenzen r=0 en r=a
LaTeX
LaTeX
tussen de grenzen phi=0 en phi =2.pi
In de laatste formule in mijn bericht staat
LaTeX
Dit moet zijn:
LaTeX

#10

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2007 - 16:30

Aadkr, ik doelde eigenlijk eerder op de fluxintegraal waarbij je oppervlak S parametriseert als:
x= a cos u sin v
y= a sin u sin v
z=a cos v

Dus r(u,v)=a cos u sin v i+a sin u sin v j + a cos v k.
Waarbij (u,v) het volgende gebied D doorlopen: 0<u<2pi en 0<v<pi/2.
Op de een of andere reden kom ik hierbij niet op de goede flux uit.

Maar goed, de eerste methode is misschien toch beter, en ik zal die maar toepassen in de toekomst.

Evengoed bedankt voor het uitwerken :(

Veranderd door flamey, 06 mei 2007 - 16:31


#11

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 mei 2007 - 18:05

Je werkt met sferische poolcoordinaten.
LaTeX
LaTeX
LaTeX

In de formule:
LaTeX
ga je al de mist in. Aan de ene kant gebruik je de 3 bolcoordinaten LaTeX ,maar je gebruikt ook de 3 rechthoekige eenheidsvectoren LaTeX en dat gaat niet.

De rekenmethode die ik gebruik, kun je altijd toepassen , ongeacht hoe gek het oppervlak eruitziet.

Je kan het wel op deze manier berekenen.
LaTeX
LaTeX
En hier komt uit:
LaTeX
Zoals jij het wil berekenen is zeer moeilijk. Je zou dan de eenheidsvectoren
LaTeX
moeten vervangen door 3 nieuwe eenheidsvectoren
LaTeX

#12

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2007 - 19:40

Zover ik weet moet het oppervlak S altijd in parametervoorstelling gegeven worden toch? Ik gebruik in dit geval dan geen bolcoordinaten, maar een parametervoorstelling dat de bol beschrijft.
Net zoals bijvoorbeeld:
x= cos t
y= sin t de eenheidscirkel beschrijft.

In principe zou het met de parametrisering (die LIJKT op bolcoordinaten) ook moeten lukken denk ik dan zo. Echter ik denk dat ik ergens een foutje gemaakt heb.

#13

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 mei 2007 - 22:06

Nog een voorbeeld :
Bereken de fluxintegraal
LaTeX
voor het vectorveld:
LaTeX
LaTeX
boven het xy-vlak . De eenheidsnormaalvectoren n zijn naar boven gericht.
( dit betekend dat we het buitenoppervlak van de paraboloide beschouwen).
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
De Region R bestaat uit het oppervlak binnen de circel
LaTeX
Deze Region R is dus altijd een oppervlak gelegen in het xy-vlak
LaTeX
Neem:
LaTeX
LaTeX
LaTeX





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures