Springen naar inhoud

een vraagstuk van m'n wiskunde PO


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 09 februari 2005 - 15:24

als je weet dat 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +...= pi-kwadraat /6

bepaal dan 1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + 1/81 + .... =



A pi-kwadraat /7
B pi-kwadraat /8
C pi-kwadraat /9
D pi-kwadraat/10
E pi-kwadraat/12

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

da_cobra

    da_cobra


  • >25 berichten
  • 67 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 februari 2005 - 15:48

Ik gok op E : pi-kwadraat/12, maar zoals je ziet het is gokken hť :shock:

#3


  • Gast

Geplaatst op 09 februari 2005 - 15:49

als je weet dat 1+ 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +...pi-kwadraat /6

bepaal dan 1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + 1/81 + .... =



A pi-kwadraat /7
B pi-kwadraat /8
C pi-kwadraat /9
D pi-kwadraat/10
E pi-kwadraat/12


Dit niet gewoon de vraag? , wil je nou de uitkomst hebben of a,b,c,d,e op de puntjes hebben?

1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + 1/81 + A = 2.593808439
1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 + 1/81 + E = 2.006331987

#4


  • Gast

Geplaatst op 09 februari 2005 - 16:08

Ik gok op E : pi-kwadraat/12, maar zoals je ziet het is gokken hť :shock:


Ik waardeer ieders hulp, maar ik kan je nu iig al zeggen dat jouw antwoord niet goed is..kijk maar...pi-kwadraat/12 is KLEINER dan 1.
1 + 1/...etc moet groter zijn dan 1...dus kan dat antwoord al niet.

Maar kan iemand me zeggen wat het dan moet zijn? IK had ook graag een berekening erbij.

#5

T-reg

    T-reg


  • >100 berichten
  • 174 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 februari 2005 - 16:59

Met enige schatting kom ik tot pi≤/8, want de tweede reeks is gewoon de eerste reeks min 1/4 + 1/16 + 1/36 + 1/64 + 1/100 + 1/144 +...
dus de uitkomst moet dichtbij pi≤/6 - 0.37584722222 liggen, en van de onderstaande antwoorden, ligt pi≤/8 het dichtst hierbij.
Al denk ik wel dat de eerste reeks nooit pi≤/6 kan uitkomen... dus de opgave is al wat vreemd.
You can't predict a fool's behaviour

#6


  • Gast

Geplaatst op 09 februari 2005 - 17:30

Met enige schatting kom ik tot pi≤/8, want de tweede reeks is gewoon de eerste reeks min 1/4 + 1/16 + 1/36 + 1/64 + 1/100 + 1/144 +...
dus de uitkomst moet dichtbij pi≤/6 - 0.37584722222 liggen, en van de onderstaande antwoorden, ligt pi≤/8 het dichtst hierbij.
Al denk ik wel dat de eerste reeks nooit pi≤/6 kan uitkomen... dus de opgave is al wat vreemd.


Ik dank je voor je uitleg, aangezien dit inderdaad is wat we nodig hebben. Kun je nader toelichten waarom je met de eerste reeks nooit op pi≤/6 kan uitkomen?

#7

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2005 - 17:37

Ik heb geen idee hoe hij daarbij komt, want die reeks convergeert zeker wel naar pi^2 / 6!

Geplaatste afbeelding

Leuk linkje: http://www.pisquared...x.force9.co.uk/

En een hele zwik formele bewijzen (kies er maar eentje): http://www.maths.ex....c/etc/zeta2.pdf
Never underestimate the predictability of stupidity...

#8

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2005 - 20:42

Nou ja je hebt verschillende benaderingswijzen voor het probleem.

Je kunt naar de verschillen tussen de eerste met limiet pi^2/6 kijken. deze gaat in zijn volledigheid van alle normale getallen uit.
De tweede reeks met nog onbekende limiet gaat enkel uit van de oneven getallen. Je kunt dus ook bekijken naar welke limiet het verschil tussen de twee rijen gaat.

Je kunt het uiteraard ook intikken op de zakjapanner. Dit behoeft geen verdere uitleg lijkt me. Iedereen zal toch wel tot de conclusie komen dat de antwoorden C, D en E meteen afvallen. Om het evne wat beter te "zien":
pi^2/7 = ca. 1.40994349
pi^2/8 = ca. 1.23370055

Het mest plausibele antwoord hieruit lijkt me toch wel Antwoord B, alhoewel ik nog geen echte moeite heb gedaan voor een bewijs ofwel zelf te maken ofwel op te zoeken.

Er rees bij mij zelfs de vraag: okť de eerste rij is een bekend met een beroemde limiet, maar de tweede ook?
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#9

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2005 - 20:44

Potverdikkie, ik zoek meteen na het posten van de bovenstaande post in Google en wat vind ik:

(PI2)/8 = 1/12 + 1/32 + 1/52 + ...

(PI2)/24 = 1/22 + 1/42 + 1/62 + ...


Ook wel beter bekend als: Lord Brouncker's Formula

Nou ja okť dan, duidelijk wat het antwoord moest zijn! B dus.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#10

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 februari 2005 - 21:47

Het is vrij simpel. De oorspronkelijke rij kun je opvatten als de som van even termen plus een som van oneven termen. Als je weet dat de totale som ;)2/6 oplevert dan kun je met weinig moeite inzien dat de som van de even termen kan worden omgevormd naar de som van de totale rij gedeeld door 4.
De som van de oneven termen is dus :?:2/6 -;)2/24=:shock:2/8.

#11

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2005 - 21:50

Zoals je het stelt klinkt het simpel, maar waarom gedeeld door 4? Ik zou verwachten gedeeld door 2 of een ander getal kan ook. Waarom zie je zo snel 4?

Of ben ik even niet wakker?
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#12

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2005 - 06:23

Zoals je het stelt klinkt het simpel, maar waarom gedeeld door 4? Ik zou verwachten gedeeld door 2 of een ander getal kan ook. Waarom zie je zo snel 4?

Of ben ik even niet wakker?


De oorspronkelijke reeks bestaat uit termen 1/k2 De even termen zijn dus te schirijven als 1/(2k)2=1/4*(1/k2) ofwel:

1/4+1/16+1/36+1/64+1/100...=1/4*(1+1/4+1/9+1/16+1/25...)

#13

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2005 - 11:46

Duidelijk. Scherp gezien trouwens!
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#14

T-reg

    T-reg


  • >100 berichten
  • 174 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2005 - 15:29

Ik heb geen idee hoe hij daarbij komt, want die reeks convergeert zeker wel naar pi^2 / 6!

Inderdaad, even in de war gebracht door mijn intuÔtie...
You can't predict a fool's behaviour





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures