Springen naar inhoud

[raadsel] een miljard getallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2005 - 12:12

Onlangs vond ik deze :
Stelling: Er bestaat een rij van een miljard opeenvolgende getallen die allemaal deelbaar zijn door een n-de macht > 1. Met n constant.
Bewijs ???
Ik vond hem al, nu is het aan jullie.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2005 - 13:18

Bedoel je dat er een x bestaat zodanig dat x, x+1, x+2, ..., x+109 allen deelbaar zijn door hetzelfde vaste getal n?

(Dat lijkt me onmogelijk.)
Never underestimate the predictability of stupidity...

#3

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2005 - 13:42

Stelling: Er bestaat een rij van een miljard opeenvolgende getallen die allemaal deelbaar zijn door een n-de macht > 1. Met n constant.


Stelling is niet goed geformuleerd. Elk getal kan gedeeld worden door een ander getal, behalve nul.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#4

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2005 - 14:02

Elk getal uit die rij kan gedeeld worden door een n-de macht. Met n constant bedoel ik dat je als je bv n= 9 stelt, je elk getal uit die rij kan delen door een negende macht. Of weet je wat, ik formuleer de stelling effe wat gemakkelijker.
Stelling: Er bestaat een rij van een miljard getallen die elk deelbaar zijn door een kwadraat >1.

#5

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2005 - 14:08

Om hem netjes te formuleren: Je zegt dus dat er een x bestaat zodanig dat elk element uit de verzameling {x, x+1, x+2, ..., x+109-1} deelbaar is door n2 (wel elke keer een andere n) en dat het resultaat dan weer een geheel getal is.

Is het zo goed geformuleerd? Anders is het natuurlijk niets bijzonders, tenslotte is 13 ook prima deelbaar door 35...
Never underestimate the predictability of stupidity...

#6

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2005 - 14:21

volgens mij bedoelt hij juist niet elke keer een andere n, maar steeds dezelfde, Dat zegt hij toch met als voorbeeld n=9.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#7

Vortex29

    Vortex29


  • >250 berichten
  • 683 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 februari 2005 - 14:25

{x, x+1, x+2, ..., x+109}

Die laatste is denk ik x+109-1.

#8

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2005 - 14:40

Waarom denk je dat?
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#9

Vortex29

    Vortex29


  • >250 berichten
  • 683 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 10 februari 2005 - 14:43

Anders heb je 109+1 getallen in de reeks.

#10

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2005 - 14:43

Suyver heeft het bij het rechte eind.

#11

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2005 - 17:02

De aanvulling van Vortex is ook juist.

#12

DVR

    DVR


  • >250 berichten
  • 581 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 februari 2005 - 18:15

je kunt ze natuurlijk allemaal delen door 1^n :shock:
De kortste weg tussen twee punten is nooit een rechte lijn...

#13


  • Gast

Geplaatst op 10 februari 2005 - 18:39

Lijkt me interesant als je dit kan bewijzen... volgens mij is de ontkenning van deze stelling heel eenvoudig, of ik moet ergens overheen kijken.

Zij A de verz getallen waar het om gaat {p(in)}n|x<=p<=(x+10^9-1)}

Nu geld voor alle p in A dat p in 1mod2 óf 0mod2 zit.

De enige deler van zowel 1mod2 als 0mod2 is 1. En dat is een tegenspraak met de aanname dat de deler >1 moest zijn.

#14

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 februari 2005 - 20:57

Lijkt me interesant als je dit kan bewijzen... volgens mij is de ontkenning van deze stelling heel eenvoudig, of ik moet ergens overheen kijken.

Zij A de verz getallen waar het om gaat {p(in)}n|x<=p<=(x+10^9-1)}

Nu geld voor alle p in A dat p in 1mod2 óf 0mod2 zit.

De enige deler van zowel 1mod2 als 0mod2 is 1. En dat is een tegenspraak met de aanname dat de deler >1 moest zijn.


Ik weet niet of je antwoord goed zit of niet, want de getaltheorie die jij gebruikt (pi(n)) ken ik nog niet. :shock:
Ik had volgend bewijs :
Kies een miljard verschillende priemgetallen (p1, p2, ..,p10^9). Beschouw dan volgend stelsel congruentievergelijkingen:
x=-1(modp1²), x=-2(modp2²), ... , x=-10^9(modp10^9²)
Nu zegt de chinese reststelling : Stel dat in x=c1(modm1), x=c2(modm2),..., x=cn(modmn) (1) geldt dat ggd(mi,mj)=1 voor elk tweetal i =/ j. Dan heeft (1) precies één restklasse modulo m1*m2*..*mn als oplossingsverzameling.
Die stelling kunnen we dus toepassen in ons bewijs. Want er geldt zeker dat ggd(pi²,pj²)=1 voor alle i,j. Dus: x+1,x+2, .. ,x+10^9 zijn deelbaar door respectievelijk p1²,p2², ... p10^9². Dat zijn allemaal kwadraten. Daarmee is de stelling bewezen.

PS ik denk dat deze stelling uit te breiden is naar een willekeurige natuurlijke macht.

#15


  • Gast

Geplaatst op 10 februari 2005 - 22:10

Kies een miljard verschillende priemgetallen (p1, p2, ..,p10^9).


:shock: ja, leuk en aardig, maar dat zijn geen opeenvolgende priemgetallen. Het bewijs klopt verder wel volgens mij. Maar voor opeenvolgende getallen kan het dus niet!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures