Op een rechte

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Op een rechte

Tracht zo kort mogelijk na te gaan of volgende punten op een rechte liggen:

P(1,-2,3),Q(2,1,0) en R(4,7,-6).
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Op een rechte

Als ze op dezelfde rechte zouden liggen, dan zouden ze een één dimensionale 'ruimte' opspannen in :( ³ (een rechte dus). Dit impliceert dat elke vector te schrijven is als veelvoud van een andere vector, en dat is hier duidelijk niet het geval.

P is bijvoorbeeld geen veelvoud van Q, want de eerste coordinaat van Q is 2, en de eerste van P is 1. Als ze op dezelfde rechte zouden liggen, zou 2*P=Q, en dat is niet zo. De punten liggen wel allen op hetzelfde vlak, want:
\(\left\{ \begin{array}{rcl} \lambda + 2\mu = 4 $\\$ \mu - 2\lambda = 7 $\\$ 3\lambda = -6 \end{array}\right \Leftrightarrow \lambda = -2 $\\$ \Rightarrow -2+2\mu = 4 \Leftrightarrow \mu=3 \Leftrigharrow 3-2(-2) = 7\)
Wacht liefst op bevestiging, want lineaire algebra zit even ver weg in mijn geheugen.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Op een rechte

Kan op vele manieren natuurlijk. Bijvoorbeeld met een determinant:
\(\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 7 & { - 6} \\\end{array}} \right| = 0 \Rightarrow \)
ze liggen op één rechte.

Eerder lineaire algebra en meetkunde, verplaatst.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Op een rechte

P is bijvoorbeeld geen veelvoud van Q, want de eerste coordinaat van Q is 2, en de eerste van P is 1. Als ze op dezelfde rechte zouden liggen, zou 2*P=Q, en dat is niet zo. De punten liggen wel allen op hetzelfde vlak, want:
Laat me even in het vlak werken: (1,0) en (0,1) liggen niet op één rechte omdat ze geen veelvoud van elkaar zijn? Door twee punten gaat altijd een rechte, ook in :( ³. Drie punten, dat is wat anders. Wat dat vlak betreft: dat is logisch, door drie punten gaat (analoog) altijd een vlak.

Een beetje meer op jouw manier: stel bijvoorbeeld de rechte op door de eerste twee punten:

(1,-2,3) + k ((2,1,0)-(1,-2,3)) = (1,-2,3) + k (1,3,-3)

Ligt het derde punt, (4,7,-6), hierop? Ja, neem k = 3.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Op een rechte

Inderdaad :s

Ik was aan het werken met vectoren denk ik, ik keek welke 'rechte' de eerste vector opspande, en concludeerde daar meteen uit dat de andere vectoren daar niet oplagen, wat natuurlijk fout is.

Ik zie het verschil tussen een vector en een punt niet echt, het is te zeggen, ik weet dat een punt een punt is, en dat een vector een richting aangeeft. Maar in mijn wiskunde cursus wordt er geen verschil gebruikt in notatie meen ik. Kan iemand dat verduidelijken?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Op een rechte

In een n-dimensionale ruimte kan je ze allebei gebruiken, ze zijn immers beide vastgelegd door hun coördinaten. Vandaar sprak men in het middelbaar onderwijs van zowel punten, vectoren als zefls 'puntvectoren'. Misschien denk jij aan 'fysische' vectoren (grootte, zin, richting), maar wiskundig is een vector gewoon een element van een vectorruimte, vastgelegd door bijvoorbeeld zijn coördinaten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Op een rechte

\(\vec{PQ}=i+3j-3k\mbox{,}\vec{PR}=3i+9j-9k\)
\(\vec{PR}=3\vec{PQ}\)
Of twee evenwijdige vectoren met gemeenschappelijke punt P, dus 3 punten op een rechte.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Reageer