Limiet met twee veranderlijken
- Berichten: 3.330
Limiet met twee veranderlijken
Bepaal onderstaande bestaande limiet:
\(\lim_{(x,y)\rightarrow\mbox{(0,0)}}\frac{5x^2y}{x^2+y^2}\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 2.003
Re: Limiet met twee veranderlijken
\(0 \leq |\frac{5x^2y}{x^2+y^2}|=\frac{5|y|}{1+\left(\frac{y}{x} \right)^2} \leq 5|y| \rightarrow 0\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet met twee veranderlijken
Wat is er fout aan de volgende redenering?
Ik kijk op de lijn y=mx:
Nu voor
Ik kijk op de lijn y=mx:
\( \frac{5mx^3}{x^2(1+m^2)} =x \frac{m}{(1+m^2)} \rightarrow 0 \)
\( voor x \rightarrow 0 \)
Nu voor
\( x=\sqrt{y} \)
volgt:\( \frac{5y^2}{y^2+y^2}\rightarrow \frac{5}{2} \)
Dus de limiet bestaat niet!Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 2.003
Re: Limiet met twee veranderlijken
dit.dirkwb schreef:Wat is er fout aan de volgende redenering?
\( \frac{5y^2}{y^2+y^2}\rightarrow \frac{5}{2} \)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
-
- Berichten: 4.246
- Berichten: 2.003
Re: Limiet met twee veranderlijken
het moet zijn: 5y^2/(y+y^2).
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
- Berichten: 24.578
Re: Limiet met twee veranderlijken
Of poolcoördinaten:
\(\frac{{5x^2 y}}{{x^2 + y^2 }} \to \frac{{5r^3 \cos ^2 t\sin t}}{{r^2 \cos ^2 t + r^2 \sin ^2 t}} = 5r\cos ^2 t\sin t\mathop \to \limits^{r \to 0} 0\)
@Morzon: daar komt geen 5 uit, gelukkig..."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet met twee veranderlijken
@Morzon: je hebt gelijk, bedankt!
Quitters never win and winners never quit.
- Berichten: 2.003
Re: Limiet met twee veranderlijken
@TD: Ik had het al aangepast
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
- Berichten: 24.578
Re: Limiet met twee veranderlijken
Had ik te laat gezien, zo klopt het. Nu een y schrappen en dan y naar 0 levert weer 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 3.330
Re: Limiet met twee veranderlijken
Ik ben akkoord de limiet zal wel 0 zijn.Maar kan dit nu niet aandetoond worden met de epsilon-delta defintie ( voor 2 veranderlijken)?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 24.578
Re: Limiet met twee veranderlijken
In principe wel, maar omdat dat gewoonlijk erg omslachtig is (zelfs in één veranderlijke vaak al), gebruiken we liever methoden zoals hierboven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 3.330
Re: Limiet met twee veranderlijken
Bepaal:
\(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x²-y²}{x²+y²})^2\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 24.578
Re: Limiet met twee veranderlijken
Ideaal voor poolcoördinaten:
\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \left( {\frac{{x^2 - y^2 }}{{x^2 + y^2 }}} \right)^2 \to \mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \left( {\frac{{r^2 \cos ^2 t - r^2 \sin ^2 t}}{{r^2 \cos ^2 t + r^2 \sin ^2 t}}} \right)^2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \left( {\frac{{r^2 \left( {2\cos ^2 t - 1} \right)}}{{r^2 }}} \right)^2 = \mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \left( {2\cos ^2 t - 1} \right)^2 \)
De limiet is afhankelijk van de hoek, dus bestaat niet."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 2.003
Re: Limiet met twee veranderlijken
kan ook makkelijk als je x=y neemt, dan komt er 0 uit. En neem y=0, en dan kom je op 1 uit. Dus limiet bestaat niet.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.