Limiet met twee veranderlijken

kotje

Bepaal onderstaande bestaande limiet:

\(\lim_{(x,y)\rightarrow\mbox{(0,0)}}\frac{5x^2y}{x^2+y^2}\)

Morzon

\(0 \leq |\frac{5x^2y}{x^2+y^2}|=\frac{5|y|}{1+\left(\frac{y}{x} \right)^2} \leq 5|y| \rightarrow 0\)

dirkwb

Wat is er fout aan de volgende redenering?

Ik kijk op de lijn y=mx:

\( \frac{5mx^3}{x^2(1+m^2)} =x \frac{m}{(1+m^2)} \rightarrow 0 \)

\( voor x \rightarrow 0 \)

Nu voor

\( x=\sqrt{y} \)

volgt:

\( \frac{5y^2}{y^2+y^2}\rightarrow \frac{5}{2} \)

Dus de limiet bestaat niet!

Morzon

dirkwb schreef:Wat is er fout aan de volgende redenering?

\( \frac{5y^2}{y^2+y^2}\rightarrow \frac{5}{2} \)

dit.

dirkwb

Wat is daar fout aan?

Morzon

het moet zijn: 5y^2/(y+y^2).

TD

Of poolcoördinaten:

\(\frac{{5x^2 y}}{{x^2 + y^2 }} \to \frac{{5r^3 \cos ^2 t\sin t}}{{r^2 \cos ^2 t + r^2 \sin ^2 t}} = 5r\cos ^2 t\sin t\mathop \to \limits^{r \to 0} 0\)

@Morzon: daar komt geen 5 uit, gelukkig...

dirkwb

@Morzon: je hebt gelijk, bedankt!

Morzon

@TD: Ik had het al aangepast

TD

Had ik te laat gezien, zo klopt het. Nu een y schrappen en dan y naar 0 levert weer 0.

kotje

Ik ben akkoord de limiet zal wel 0 zijn.Maar kan dit nu niet aandetoond worden met de epsilon-delta defintie ( voor 2 veranderlijken)?

TD

In principe wel, maar omdat dat gewoonlijk erg omslachtig is (zelfs in één veranderlijke vaak al), gebruiken we liever methoden zoals hierboven.

kotje

Bepaal:

\(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x²-y²}{x²+y²})^2\)

TD

Ideaal voor poolcoördinaten:

\(\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \left( {\frac{{x^2 - y^2 }}{{x^2 + y^2 }}} \right)^2 \to \mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \left( {\frac{{r^2 \cos ^2 t - r^2 \sin ^2 t}}{{r^2 \cos ^2 t + r^2 \sin ^2 t}}} \right)^2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \left( {\frac{{r^2 \left( {2\cos ^2 t - 1} \right)}}{{r^2 }}} \right)^2 = \mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \left( {2\cos ^2 t - 1} \right)^2 \)

De limiet is afhankelijk van de hoek, dus bestaat niet.

Morzon

kan ook makkelijk als je x=y neemt, dan komt er 0 uit. En neem y=0, en dan kom je op 1 uit. Dus limiet bestaat niet.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Limiet met twee veranderlijken

Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken

Re: Limiet met twee veranderlijken