Ok voor een ring hebben we dus:
\(B = \frac{\mu_{0}}{2} I \frac{ R^2 }{ (R^2+z^2)^\frac{3}{2}} \)
Nu beschouwen we deze ring als een infinitesimaal dunne ring, om dus het magnetisch veld van de hele spoel te krijgen tellen we de magnetische velden van al die ringen bijelkaar op. We integreren dus van het begin van de spoel (nu de rechter kant) tot het eind. Noem de afstand tussen het punt waar je het veld wilt weten en he begin van de spoel a en de lengte van de spoel L. Je integraal ziet er nu als volgt uit:
\(B = \frac{\mu_{0} N I R^2}{2} \int_a^{a+L} \frac{ 1 }{ (R^2+z^2)^\frac{3}{2}} dz\)
waarbij N = n/L (met n het totaal aantal windingen)
Hier komt uit:
\(B = \frac{\mu_{0} N I R^2}{2} \left[ \frac{ 1 }{ R^2 \sqrt{R^2+z^2} } \right]_a^{a+L}\)
Hierbij geldt:
\( a+L = \frac{R}{\tan(\theta_2)} \)
\( a = \frac{R}{\tan(\theta_1)} \)
als je dit zo invult in de uitkomst van de integraal krijg je:
\(B = \frac{1}{2} \mu_{0} N I \left[ \frac{ R }{ \tan(\theta_2) \sqrt{\frac{R^2}{ \tan(\theta_2) }} + R^2} - \frac{ R }{ \tan(\theta_1) \sqrt{\frac{R^2}{ \tan(\theta_1) }} + R^2}\right]\)
Vervolgens kun je dit vereenvoudigen met de regels:
\(\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1\)
en
\(\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\)
Wat resulteert in:
\(B=\frac{1}{2} \mu_{0} N I \left(\cos\theta_{2} - \cos\theta_{1}\right) \)
Nothing to see here, move along...