Springen naar inhoud

Formule kansrekening leidt tot bijzondere conclusie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 mei 2007 - 15:26

Uit mijn kansrekening meende ik me de volgende formule voor kansen te herinneren. Stel A en B zijn twee gebeurtenissen en stel dat P(A) > 0 en P(B) > 0. Dan geldt
P(A en B) = P(B | A) * P(A), waarbij P(B | A) de kans op B is, als we al weten dat A waar is (de kans op B gegeven A).
Naar mijn weten geldt dit voor willekeurige gebeurtenissen, onafhankelijk of afhankelijk.

De relatie "en" is symmetrisch, dus geldt de volgende gelijkheid.
P(B | A) * P(A) = P(A en B) = P(B en A) = P(A | B) * P(B).

Delen we nu de meest linkse en de meest rechtse term door P(A) * P(B) (een getal dat niet nul is per aanname), dan staat er:
P(B | A) / P(B) = P(A | B) / P(A)

Neem nu voor gebeurtenis A: het regent.
Neem nu voor gebeurtenis B: ik neem mijn paraplu mee.

Dan staat er:
(de kans dat ik mijn paraplu meeneem, gegeven dat het regent) / (de kans dat ik mijn paraplu meeneem)
=
(de kans dat het regent, gegeven dat ik mijn paraplu meeneem) / (de kans dat het regent)

Het feit of het regent is onafhankelij kvan wat ik met mijn paraplu doe, dus de tweede term heeft waarde 1. Echter, als het regent ben je eerder geneigd je paraplu mee te nemen, dus de eerste term is groter dan 1. Maar dit kan niet, ze zijn gelijk. De conclusie is nu dat het feit dat ik mijn paraplu meeneem, niet afhangt van het al dan niet regenen.

Wat gaat hier fout?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 mei 2007 - 15:40

Over welke termen heb je het nu? En wat is groter dan 1? Een kans kan niet groter zijn dan 1...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 mei 2007 - 16:18

Je hele berekening klopt, maar hier gaat iets mis:

Het feit of het regent is onafhankelij kvan wat ik met mijn paraplu doe, dus de tweede term heeft waarde 1. Echter, als het regent ben je eerder geneigd je paraplu mee te nemen, dus de eerste term is groter dan 1.

A en B zijn óf afhankelijk, óf onafhankelijk.

Ook al is B het gevolg van A (en andersom niet), kanstechnisch is A dan niet meer onafhankelijk van B. Als je eerder je paraplu meeneemt wanneer het regent, is de kans dat het regent gegeven dat je je paraplu meeneemt, groter dan enkel de kans dat het regent.

Maar dit kan niet, ze zijn gelijk. De conclusie is nu dat het feit dat ik mijn paraplu meeneem, niet afhangt van het al dan niet regenen.

Nee, de conclusie is dat de kans op regen niet onafhankelijk is van of jij je paraplu meeneemt. Die conclusie lijkt pas vreemd als je afhankelijkheid van kansen gaat verwarren met een oorzakelijk verband.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 mei 2007 - 16:07

@ Rogier, toen ik vanochtend in de bus zat dacht ik al, het zou wel eens kunnen dat die onafhankelijkheid niet klopt *schaam*... :( Want zoals je zegt, je neemt eerder een paraplu mee als het regent en dus is, gegeven dat je een paraplu meeneemt, is de kans groter dat het regent. Ik haalde de wiskundige afhankelijkheid inderdaad door elkaar met de taalkundige afhankelijkheid.

@ TD, ik was niet helemaal duideljk. Met "de eerste term" bedoelde ik het quotient van de kansen in de regel boven het gelijkteken. De "tweede term" is die eronder. Linker- en rechterlid waren betere woorden geweest...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures