Formule kansrekening leidt tot bijzondere conclusie

Erik Leppen

Uit mijn kansrekening meende ik me de volgende formule voor kansen te herinneren. Stel A en B zijn twee gebeurtenissen en stel dat P(A) > 0 en P(B) > 0. Dan geldt

P(A en B) = P(B | A) * P(A), waarbij P(B | A) de kans op B is, als we al weten dat A waar is (de kans op B gegeven A).

Naar mijn weten geldt dit voor willekeurige gebeurtenissen, onafhankelijk of afhankelijk.

De relatie "en" is symmetrisch, dus geldt de volgende gelijkheid.

P(B | A) * P(A) = P(A en B) = P(B en A) = P(A | B) * P(B).

Delen we nu de meest linkse en de meest rechtse term door P(A) * P(B) (een getal dat niet nul is per aanname), dan staat er:

P(B | A) / P(B) = P(A | B) / P(A)

Neem nu voor gebeurtenis A: het regent.

Neem nu voor gebeurtenis B: ik neem mijn paraplu mee.

Dan staat er:

(de kans dat ik mijn paraplu meeneem, gegeven dat het regent) / (de kans dat ik mijn paraplu meeneem)

=

(de kans dat het regent, gegeven dat ik mijn paraplu meeneem) / (de kans dat het regent)

Het feit of het regent is onafhankelij kvan wat ik met mijn paraplu doe, dus de tweede term heeft waarde 1. Echter, als het regent ben je eerder geneigd je paraplu mee te nemen, dus de eerste term is groter dan 1. Maar dit kan niet, ze zijn gelijk. De conclusie is nu dat het feit dat ik mijn paraplu meeneem, niet afhangt van het al dan niet regenen.

Wat gaat hier fout?

TD

Over welke termen heb je het nu? En wat is groter dan 1? Een kans kan niet groter zijn dan 1...

Rogier

Je hele berekening klopt, maar hier gaat iets mis:

Het feit of het regent is onafhankelij kvan wat ik met mijn paraplu doe, dus de tweede term heeft waarde 1. Echter, als het regent ben je eerder geneigd je paraplu mee te nemen, dus de eerste term is groter dan 1.

A en B zijn óf afhankelijk, óf onafhankelijk.

Ook al is B het gevolg van A (en andersom niet), kanstechnisch is A dan niet meer onafhankelijk van B. Als je eerder je paraplu meeneemt wanneer het regent, is de kans dat het regent gegeven dat je je paraplu meeneemt, groter dan enkel de kans dat het regent.

Maar dit kan niet, ze zijn gelijk. De conclusie is nu dat het feit dat ik mijn paraplu meeneem, niet afhangt van het al dan niet regenen.

Nee, de conclusie is dat de kans op regen niet onafhankelijk is van of jij je paraplu meeneemt. Die conclusie lijkt pas vreemd als je afhankelijkheid van kansen gaat verwarren met een oorzakelijk verband.

Erik Leppen

@ Rogier, toen ik vanochtend in de bus zat dacht ik al, het zou wel eens kunnen dat die onafhankelijkheid niet klopt *schaam*...

Want zoals je zegt, je neemt eerder een paraplu mee als het regent en dus is, gegeven dat je een paraplu meeneemt, is de kans groter dat het regent. Ik haalde de wiskundige afhankelijkheid inderdaad door elkaar met de taalkundige afhankelijkheid.

@ TD, ik was niet helemaal duideljk. Met "de eerste term" bedoelde ik het quotient van de kansen in de regel boven het gelijkteken. De "tweede term" is die eronder. Linker- en rechterlid waren betere woorden geweest...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Formule kansrekening leidt tot bijzondere conclusie

Formule kansrekening leidt tot bijzondere conclusie

Re: Formule kansrekening leidt tot bijzondere conclusie

Re: Formule kansrekening leidt tot bijzondere conclusie

Re: Formule kansrekening leidt tot bijzondere conclusie