De ballerina-spin

Moderator: physicalattraction

Reageer
Berichten: 10

De ballerina-spin

Hoi,

Iedereen kent het fenomeen wel: Een ballerina die snel wil ronddraaien maakt zich breed, gaat draaien, en door zich daarna smal te maken versneld de draaiing. Energetisch gezien is dit heel erg goed te verklaren uiteraard.

Maar het volgende begrijp ik niet: Ik heb altijd geleerd dat er een kracht nodig is voor een versnelling, of in dit geval: Een moment voor een hoekversnelling. Echter is er voor zover ik zie geen moment in de bovenbeschreven situatie. Dit is ook logisch, want als deze er wel zou zijn zou er energie toegevoerd worden en dat is niet het geval. De conclusie die ik dan trek is dat het verband tussen moment en hoekversnelling, welke gegeven wordt door het traagheidsmoment, hier gewoon niet opgaat, omdat deze ingevuld een stelling oplevert van nul is ongelijk aan nul.

Kan iemand me uitleggen wáárom deze natuurwet in een dergelijke situatie niet opgaat?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: De ballerina-spin

Die natuurwet gaat juist wél op. Zoals je bij een lineaire beweging met een bepaalde kracht een grotere versnelling bereikt als je een kleinere massa hebt.

Neem een karretje met daarop een blok beton. Het karretje rijdt. Nou werp je het blok beton zó af dat het aan het eind van de krachtsuitoefening een snelheid nul heeft. De rest van het karretje zal hierna een grotere snelheid hebben. Kwestie van (lineaire) traagheid dus.

Nou die ballerina, haar beweging is niet lineair, maar draaiend. Nou is voor de traagheid niet alleen de totale draaiende massa van belang, maar ook de afstand (en wel in het kwadraat!!)van elk stukje massa tot aan de draaiingsas. Van het lineaire F= m·a is de draaingsequivalent M= J·α

En die J is dan afhankelijk van massa en de vorm van het draaiende lichaam, of beter, van de som van elk klein stukje massa en zijn afstand tot de draaiingsas. Na uitwerking van de wiskunde blijkt voor een massieve cilinder bijvoorbeeld dat J gelijk is aan ½mR². We hoeven dus geen stukjes ballerina af te werpen :grin: . Het is voldoende voor de ballerina om stukjes van haar massa te verplaatsen tot dichter bij haar draaiingsas (R wordt kleiner) om een geringere (draaiings)traagheid te bereiken.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Re: De ballerina-spin

Hoi,

Ik begrijp dat J verandert inderdaad. Maar zolang er geen moment is, zou de tweede helft van de vergelijking toch ook nul moeten zijn? En aangezien J niet nul is, zou de hoekversnelling nul moeten zijn...

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: De ballerina-spin

*gast_Thriller_* schreef:Hoi,

Ik begrijp dat J verandert inderdaad. Maar zolang er geen moment is, zou de tweede helft van de vergelijking toch ook nul moeten zijn? En aangezien J niet nul is, zou de hoekversnelling nul moeten zijn...
wacht even, welke tweede helft van welke vergelijking bedoel je nu eigenlijk?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Berichten: 1.007

Re: De ballerina-spin

\(M=J \alpha \)
neem ik aan, met
\(\alpha\)
de hoekversnelling

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: De ballerina-spin

Als dat zo is kunnen we het beter gaan hebben over de hoeveelheid beweging, in het Engels "momentum" en in het Nederlands "impuls" .

Van de lineaire vorm hiervan,

p= mv

is er ook een draaiings-tegenhanger. Die luidt: D = Jω, met ω de hoeksnelheid.

De rotatie-impuls van de ballerina verandert niet, maar omdat J kleiner wordt moet dan dus ook automatisch ω groter worden.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Lorentziaan
Berichten: 1.433

Re: De ballerina-spin

Het lijkt me het makkelijkst om de volgende denkwijze te gebruiken:

Kracht is verandering van impuls per tijdseenheid. In formulevorm:
\(F = \frac{d(mv)}{dt} = m\cdot \frac{dv}{dt} + v \cdot \frac{dm}{dt}\)
Voor objecten met een constante massa is dus alleen die eerste term aan de rechterkant van de vergelijking relevant: dm/dt is immers nul voor zulke objecten.

Voor rotatie en momenten kun je volgens mij iets gelijksoortigs zeggen:
\(M = \frac{d(I \dot{\theta})}{dt} = I \cdot \frac{\dot{\theta}}{dt} + \dot{\theta} \cdot \frac{dI}{dt} = I \ddot{\theta} + \dot{\theta} \dot{I}\)
Ik heb hier 'I' gebruikt voor het traagheidsmoment, \(\dot{\theta}\) voor de hoeksnelheid en \(\ddot{\theta}\) voor de hoekversnelling.

Het externe moment dat uitgeoefend wordt op de ballerina is nul (haar impulsmoment blijft constant), dus de twee termen aan de rechterkant zouden elkaars tegengestelde moeten zijn:
\(I \ddot{\theta} = -\dot{\theta} \dot{I}\)
Uitgaande van een positieve hoeksnelheid voor het gemak: als de ballerina haar armen intrekt maakt ze haar traagheidsmoment kleiner. \(\dot{I}\) is dus negatief, en \(\ddot{\theta}\) is dan dus positief: een hoekversnelling die leidt tot een grotere draaisnelheid.

Re: De ballerina-spin

Brinx,

Prachtige uitleg. Het is me nu duidelijk. Bedankt!

Reageer