Reeks oplossen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 37

Reeks oplossen

Hallo,

ik probeer de volgende som op te lossen:
\(\sum^{a}_{n=0} \frac{1000}{2n+1} \geq x\)
Hierbij wordt x veranderd, ik probeer uiteraard de kleinst mogelijke a te vinden.

Dus bijv:
\( 1333 \frac{1}{3} = \frac{1000}{1} + \frac{1000}{3} = \sum^{2}_{n=0} \frac{1000}{2n+1}\)
Ik heb hem al zelf geprobeerd op te lossen, maar verder dan "andersom werken" (dus excel een boel waarden laten uitrekenen) kwam ik niet. Ik heb gezocht, maar kon niets vinden over het oplossen van reeksen, en ik weet niet wat het engelse woord voor een reeks is (met row kon ik in ieder geval niks vinden).

Misschien is het wel heel simpel en moet je dit soort dingen gewoon niet nog om 0:05 proberen pi.gif , maar ik kan het niet bedenken.

Misschien weet iemand een wiskundige methode?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeks oplossen

Je hebt een ongelijkheid met rechts de variabele a en links de variabele x, is dat de bedoeling?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 37

Re: Reeks oplossen

Bedoel je daarmee dat ik 2 onbekenden heb? Dat is niet zo, omdat x vervangen wordt door een bepaald getal, zoals 1333 1/3 in het voorbeeld.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeks oplossen

Je wilt de ongelijkheid dus oplossen naar a?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 37

Re: Reeks oplossen

Ja, ik wil a weten bij een gegeven x, had misschien voor de duidelijkheid inderdaad beter x en a kunnen verwisselen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeks oplossen

Ik zie niet direct een eenvoudige manier om het linkerlid zonder sommatie te schrijven in functie van a.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Reeks oplossen

\(500 \Psi(a+3/2)+500 \gamma+1000ln(2)\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Reeks oplossen

wat zjin gamma en psi?
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Reeks oplossen

gamma is een constante en psi zal wel een of andere functie zijn.
\(\gamma=0.5772156649 \)
Dus de linkerkant is volgens mij niet uit te drukken in elementaire functies.

Maar zoiets zei TD ook al.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeks oplossen

Die gamma is de Euler-Mascheroni constante en psi is de Digamma-functie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 37

Re: Reeks oplossen

De formule ziet er heel indrukwekkend uit, maar hoe kan ik hieruit a isoleren?

Ik ben zelf niet verder gekomen dan dit, maar ik heb het gevoel dat ik het omgekeerde aan het doen ben van wat Morzon heeft gedaan:
\(500 (H_{a+\frac{1}{2}}-\gamma)+500 \gamma + 1000ln(2) = \)
\(500 (H_{a+\frac{1}{2}}-\gamma)+500 \gamma + 1000ln(2) = \)
\(500H_{a+\frac{1}{2}} + 1000ln(2)=\)
\(500(\sum^{a+\frac{1}{2}}_{k=1} \frac{1}{k}) + 1000ln(2)\)
Waarbij ik dus eigenlijk weer met hetzelfde probleem zit.

Omdat x nergens in de formule van Morzon te bekennen is, is hij misschien bedoeld om x uit te rekenen bij een gegeven a. Dat is echter niet wat ik bedoelde, misschien ben ik onduidelijk geweest, maar ik probeer dus bij een gegeven x een (zo klein mogelijke) a uit te rekenen, niet bij een gegeven a een x uit te rekenen.

Als het overigs niet kan, dan kan het niet, en is dat ook niet zo'n groot probleem voor mij hoor :D

[edit]

Fout verbeterd (was 500 vergeten voor H te zetten)

[/edit]

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeks oplossen

Omdat x nergens in de formule van Morzon te bekennen is, is hij misschien bedoeld om x uit te rekenen bij een gegeven a.
De uitdrukking die Morzon gaf, is enkel voor het linkerlid. Plak er "≥x" achter en je hebt je ongelijkheid weer.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 37

Re: Reeks oplossen

Okee, dus in principe zou ik het zo uit kunnen rekenen:
\(500 \Psi(a+3/2)+500 \gamma+1000ln(2) = x\)
\( \Psi(a+\frac{3}{2}) = \frac{x}{500}\)
\( \Psi(a+\frac{3}{2}) = \frac{x}{500} - \gamma - 2ln(2) \)
\( a = \Psi^{-1}(\frac{x}{500} - \gamma - 2ln(2) ) - \frac{3}{2}\)
Dan moet ik alleen nog vinden wat de omgekeerde berekening van psi is, weet iemand die misschien? Ik heb al wel op wikipedia gekeken, maar kon daar niet goed wijs uit worden. Ik heb echter nog niet goed gekeken.

Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Reeks oplossen

Verder dan dit kan je het volgens mij niet vereenvoudigen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 37

Re: Reeks oplossen

Okee, dan ga ik kijken of ik deze (met behulp van GRM/programma) kan oplossen, als het me lukt zal ik het in ieder geval hier plaatsen.

Reageer