Het getal e/ln logaritmen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 30-05-'07, 22:36

InFlux

Berichten: 5

Het getal e/ln logaritmen

Goeienavond,

Ik ben nieuw hier, en heb nu al vragen :D . Met wiskunde behandelen we op dit moment de natuurlijke logaritmen/het getal van euler.

Ik begrijp er werkelijk niets van, niet van wat in het boek staat, ook niet wat de leraar vertelt.

Het volgende begrijp ik van logaritmen:
\(g^a\)
=
\(b\)
als ik hier wil weten wat is, dan moet ik de
\(g\)
\(log\)
van
\(b\)
nemen.

Dus als ik in
\(3^t\)
=
\(2\)
\(t\)
wil weten moet ik de
\(3\)
\(log\)
van
\(2\)
nemen.

Hier horen allerlei rekenregels bij, en die snap ik ook wel.

Nu hebben ze het over afgeleiden van exponentiële functies. Ze zeggen dat voor de afgeleide van bijvoorbeeld
\(f(x) = g^x \)
geldt dat
\(f'(x) = c * f(x)\)
. Goed, dit kan ik ook aannemen en dus ook wel begrijpen. NU zeggen ze dat de constante c afhangt van het grondtal g. Ze zeggen dat voor de exponentiële functie waarvoor geldt dat de constante=1 het getal e (euler) wordt genoemd. Deze heeft als afgeleide zichzelf.

Ik begrijp dit niet helemaal...kan iemand dit in eigen woorden verduidelijken?

Verder hebben ze het over Ln, ofwel
\(e log x\)
. Ik kan leren dat de afgeleide hiervan
\(1/x\)
is. Maar verder snap ik niet wat ze bedoelen, om nog maar over de sommen te zwijgen.

Een voorbeeld:

Bereken de afgeleide van de volgende functies:
\(l(x) = 1/ ln^2 x \)
Hier kom ik echt niet uit...en mijn leraar zegt exact hetzelfde als wat in het boek staat.

Wie helpt? :smile:

Ja lang verhaal, maar mooi geoefend met latex.

Groet,

Bart
Omhoog

Bericht 30-05-'07, 22:47

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Het getal e/ln logaritmen

Je begrip van de logaritme klopt al, onthoud dus goed de definitie:
\(a^x = b \Leftrightarrow x = \log _a b\)
Dan, erg belangrijk: de afgeleide van een exponentiële functie. Ze vertellen je dat als je een exponentiële functie differentieert, je terug diezelfde exponentiële functie krijgt, maar vermenigvuldigd met een constante. Dus:
\(\left( {a^x } \right)^\prime = c \cdot a^x \)
Wat die constante is, weet je nog niet. Ze vertellen je ook dat die constante afhankelijk is van je grondtal a. Dat zou ik zo kunnen noteren:
\(\left( {a^x } \right)^\prime = c\left( a \right) \cdot a^x \)
Nu kan je je afvragen of er een zeker grondtal k bestaat, zodat c(k) = 1, dus zodat:
\(\left( {k^x } \right)^\prime = c\left( k \right) \cdot k^x = 1 \cdot k^x = k^x [tex]

Op die manier is k^x (met k een constant getal, het grondtal) gelijk aan z'n eigen afgeleide.

Het blijkt dat zo'n getal bestaat, het is ongeveer 2.718 en het krijgt de naam: constante van Euler.

We geven er het symbool e aan, naar Euler. Dus, voor dat grondtal, hebben we: [b](e[sup]x[/sup])' = e[sup]x[/sup][/b].

Later tweede deel.\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 30-05-'07, 22:50

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Het getal e/ln logaritmen

Misschien helpt dit iets?
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 30-05-'07, 22:54

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Het getal e/ln logaritmen

Verder hebben ze het over Ln, ofwel
\(e log x\)
Je hebt waarschijnlijk de kettingregel voor differentiëren gezien? Die moet je toepassen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 31-05-'07, 09:16

InFlux

Berichten: 5

Re: Het getal e/ln logaritmen

Ah oke...vooral die link van Phys heeft me wel wat geholpen. Het begint nu wat meer te dagen. Het getal e is dus niets anders dan een bepaalde waarde, die in de vorm:
\(e^x\)
door punt
\((0;1)\)
gaat en zichzelf als
\(afgeleide\)
heeft en een helling van 1 heeft.

Oke, dat snap ik. Dus zoals je net als
\(g^a=b\)
hiervan een logaritme kan maken om bv. een onbekende
\(a\)
uit te rekenen. Kan je van de functie
\(e^a=b\)
een logaritme maken, en dat noemen we dan
\(^e log x\)
of
\(Ln\)
.

Nu beweren ze in het boek dat je van elke exponenti"ele functie (
\(g^a=b\)
) een
\(e^a=b\)
kan schrijven. Hoe gaat dit in zn werk?

Het is nu in iedergeval al wat duidelijker. Bedankt :D :D

Als ik nog meer problemen tegenkom met dit hoofdstuk post ik het hier wel.

Groet,

Bart
Omhoog

Bericht 31-05-'07, 10:57

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Het getal e/ln logaritmen

Het getal e is dus niets anders dan een bepaalde waarde, die in de vorm:
\(e^x\)
) een
\(e^a=b\)
kan schrijven. Hoe gaat dit in zn werk?
Wat bedoel je hier precies? Waarschijnlijk dat je elke exponentiële functie met willekeurig grondtal g, kan herschrijven naar de exponentiële functie met grondtal e. Vertellen ze ook hoe je dit kan doen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 31-05-'07, 21:57

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Het getal e/ln logaritmen

InFlux schreef:Goeienavond,

Ik ben nieuw hier, en heb nu al vragen :D . Met wiskunde behandelen we op dit moment de natuurlijke logaritmen/het getal van euler.

Ik begrijp er werkelijk niets van, niet van wat in het boek staat, ook niet wat de leraar vertelt.

Het volgende begrijp ik van logaritmen:
\(g^a\)
=
\(b\)
als ik hier wil weten wat is, dan moet ik de
\(g\)
\(log\)
van
\(b\)
nemen.

Dus als ik in
\(3^t\)
=
\(2\)
\(t\)
wil weten moet ik de
\(3\)
\(log\)
van
\(2\)
nemen.

Hier horen allerlei rekenregels bij, en die snap ik ook wel.
Je stelt hier een aantal vragen. Laat ik beginnen met de logarithme.

Logarithmen zijn exponenten

Geen historie hier.

Bekijk:
\(2^x=8\)
Om x te vinden heb je niet veel nodig, misschien een paar vingers.

Maar wat denk je van:
\(2^x=7\)
Tja, het zal wel tussen 2 en 3 liggen en dichter bij de 3. Heb je een idee?

Nu we zeggen per definitie dat:
\(x=^2\log 7\)
Weet je het dan???

Algemeen:
\(a^x=b\Leftrightarrow x=^a\log b\)
Vul x in en we krijgen:
\(a^{^a\log b}=b\)
Dit noemen we de definitieformule.

In woorden: De logaritme van b met grondtal a is de exponent waartoe we a moeten verheffen om b te krijgen.

Ik heb nu geen tijd meer. Als je wilt dat ik verder ga, geef je maar een kik!
Omhoog

Bericht 31-05-'07, 22:41

InFlux

Berichten: 5

Re: Het getal e/ln logaritmen

Wat bedoel je hier precies? Waarschijnlijk dat je elke exponentiële functie met willekeurig grondtal g, kan herschrijven naar de exponentiële functie met grondtal e. Vertellen ze ook hoe je dit kan doen?
Nou ze zeggen ongeveer het volgende.

''Je kan in de eerder gevonden regel
\(^g log x=x\)
het grondtal
\(g\)
vervangen door het getal
\(e\)
.

Je krijgt dan
\(e^L^n^x=x\)
.''

Ze gaan nog wat verder en 'proberen' uit te leggen dat de afgeleide van
\(Ln(x)=1 /frac/ x\)
. Dit kan ik gewoon aannemen, maar hoe ze die grondtallen vervangen (1e verhaal) :D . Ik begrijp het niet.

Ze beweren dus dit:
\((e^L^n^x=x)\)
=
\((^g log x=x)\)
. Kan ik dan nu zeggen dat:
\(^g log x=x\)
gelijk is aan:
\(e^e^l^o^g^x x\)
? Omdat geldt:
\(Ln(x)\)
=
\(^e log x\)
. Het is me niet echt duidelijk.

Ga maar verder Safe! pi.gif

Groet,

Bart
Omhoog

Bericht 31-05-'07, 22:48

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Het getal e/ln logaritmen

Je weet nu dat ln(x) de logaritme is die hoort bij de exponentiële functie met grondtal e.

Dus, er geldt:
\(e^x = y \Leftrightarrow x = \ln y\)
en voor elke x:
\(e^{\ln x} = \ln e^x = x\)
.

Vraagje: heb je deze eigenschap van logaritmen al gezien:
\(\log \left( {a^b } \right) = b \cdot \log a\)
?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 01-06-'07, 14:10

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Het getal e/ln logaritmen

InFlux schreef:Nou ze zeggen ongeveer het volgende.

''Je kan in de eerder gevonden regel
\(^g log x=x\)
het grondtal
\(g\)
vervangen door het getal
\(e\)
.
Eerst aan TD: ik heb het gevoel dat we elkaar mischien in de weg gaan zitten. Gelukkig heb je nu de hem bekende notatie overgenomen!

In de 'quote' staat iets heel vreemds!

Als je in de definitieformule (deffor) a door e en b door x vervangt ... .

Trouwens die deffor is een formule om te memoreren bv:

Het bewijs van
\(^p\log a\cdot ^a\log b=^p\log b\)
, gaat als volgt: Beschouw het linkerlid als exponent van p, dan krijgen we:
\(\left(p^{^p\log a} \right)^{^a\log b}=a^{^a\log b}=b\)
, dus deffor twee keer toegepast.

Nu moeten we het rechterlid ook als exponent van p zien:
\(p^{^p\log b}=b\)
(zie je het?)

Wat volgt ook al weer uit deze rekenregel?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”