Reeks

okej26

Hallo, na lang zoeken ben ik nog steeds niet op het antwoord weten te komen van deze opgave. Ik snap namelijk niet hoe het verder moet/wat ik fout doe.

gegeven is de functie: (x-2)y'=xy met randvoorwaarde y(0)=4

Ik moet hierbij de machtreeks opstellen van y(x) (tot de 5e orde)

eerst uitwerken geeft y=y'-(2y'/x)

y(x)=a0+a1x=a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+....

y'(x)=0+a1+2a2x+3a3x^2+4a4x^3+5a5x^4...

y'-(2y'/x)=a1+2a2x+3a3x^2+4a4x^3+5a5x^4 - 2a1x^(-1)-4a2-6a3x-8a4x^2-10a5x^3...

nu moeten de coefficienten kloppen en bij het eindantwoord moeten of termen uitgedrukt zijn in a0 of een getal.

kom dan uit op:

x^-1:???=-2a1=0???

x^0: a0=a1-4a2

x^1: a1=2a2-6a3

x^2: a2=3a3-8a4

x^3: a3=4a4-10a5

etc maar nu kom ik hier niet uit omdat er steeds bij elke term steeds 2 onbekenden zijn..

Doe ik iets fout of zie ik iets over het hoofd waardoor ik deze berekening wel kan oplossen?

In ieder geval bedankt

TD

Je stelt dus een oplossing voor van de vijfde graad:

\(y\left( x \right) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + fx^5 \)

Dan is:

\(y'\left( x \right) = bx + 2cx + 3dx^2 + 4ex^3 + 5fx^4 \)

Ik herleid de differentiaalvergelijking naar 0:

\(\left( {x - 2} \right)y' = xy \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)y' - xy = 0\)

Nu kan je alles invullen, haakjes uitwerken en terug groepen in machten van x:

\(\begin{array}{l} - 2b - \left( {a - b + 4c} \right)x + \left( {2c - 6d - b} \right)x^2 - \left( {c - 3d + 8e} \right)x^3 \\ + \left( {4e - 10f - d} \right)x^4 + \left( {5f - e} \right)x^5 - fx^6 = 0 \\ \end{array}\)

Omdat het rechterlid gelijk is aan 0 voor alle x, moeten de coëfficiënten rechts ook steeds 0 zijn.

Uit y(0) = 4 volgt direct dat a = 4. Uit de constante term -2b volgt dat b = 0. Dan zit je nog met:

\( - \left( {4 + 4c} \right)x + \left( {2c - 6d} \right)x^2 - \left( {c - 3d + 8e} \right)x^3 + \left( {4e - 10f - d} \right)x^4 + \left( {5f - e} \right)x^5 - fx^6 = 0\)

Nu kan je zien dat c = -1, dan volgt d = -1/3, e = 0, f = 1/30. Lukt dat?

okej26

kijk aan

, mooi zo'n snel antwoord! Ik snap wat je doet ja(overigens heb je bij y' nog bx staan maar dit moet b zijn) maar dat is maar een kleinigheidje. Zoals jij het oplost het herleiden van de dvg naar 0 was mij alleen onbekend. Zoals ik hem poogde op te lossen die methode ken je niet? Of is die niet uitvoerbaar en moet het herleiden wel naar eerst naar 0, om het probleem op te lossen?

TD

Dat herleiden is maar een ideetje, zo krijg je direct een stelsel: alle coëfficiënten moeten 0 zijn.

Die kan je dan handig één per één vinden, zo rollen de a_i's (bij mij a,b,c,d,e,f) er direct uit.

Het moet in principe ook op jou manier gaan, alleen was het me onduidelijk wat je precies deed.

okej26

Hm ja ik doe ook ongeveer hetzelfde als jij, ik bereken namelijk eerst waar y gelijk aan is. En bereken y en y'. In dit geval dus y=y'-(2y'/x). Nu vul ik de waarden in die bij y staan. Daar komt na het wegwerken van haakjes als ik het goed heb uit: y'-(2y'/x)=a1+2a2x+3a3x^2+4a4x^3+5a5x^4 - 2a1x^(-1)-4a2-6a3x-8a4x^2-10a5x^3. Deze termen van gelijksoortige x-en bij elkaar nemen. Deze hele term moet gelijk moet zijn aan de termen die bij y staan, respectievelijk is dit: y(x)=a0+a1x=a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5. Zoals ik al eerder vermelde kun je dan (op ongeveer dezelfde manier als jij het hebt gedaan) de termen aan elkaar gelijkstellen om zo de coefficienten te krijgen. Maar zoals het dus uitkwam, kwam ik uit op steeds 2 onbekenden. Terwijl bij het voorbeeld wat ik in college kreeg alles of 0 werdt 0f uitgedrukt werdt in a0. De a0 kon dan uiteindelijk worden bepaald met de randvoorwaarde. Waarna alle waarden konden worden berekend. Dit lijkt me in mijn berekening niet. Ik zie dan wel hoe jouwn berekening werkt maar zou het toch graag ook kunnen op de manier die me uitgelegd is. Begrijp je nu een beetje de bedoeling?

TD

Ik begrijp de bedoeling, maar de uitwerking die je geeft is me een beetje onduidelijk.

Kan je de randvoorwaarde niet al eerder gebruiken, om alvast een coëfficiënt te vinden?

Ofwel moet je proberen je uitwerking gestructureerd over te brengen, zodat ik kan volgen

okej26

\(y\left( x \right) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + a5x^5 \)

\(y'\left( x \right) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 4a4x^3 + 5a5x^4\)

Invullen en wegwerken van haakjes geeft

y'-(2y'/x) =

\( a1 + 2a2x + 3a3x^2 + 4a4x^3 + 5a5x^4 - 2a1x^-1 - 4a2 - 6a3x - 8a4x^2 - 10a5x^3\)

samenvoegen geeft

\( (a1 - 4a2)x^0 + (2a2 - 6a3)x^1 + (3a3 - 8a4)x^2 + (4a4 - 10a5)x^3\)

dit is y'-(2y'/x) wat gelijk moet zijn aan y zoals eerder aangegeven dus de coefficienten moeten gelijk zijn van beiden geeft:

\( (a1 - 4a2)x^0 + (2a2 - 6a3)x^1 + (3a3 - 8a4)x^2 + (4a4 - 10a5)x^3\)

=

\(y\left( x \right) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + a5x^5 \)

betekend dat

a0 = a1 - 4a2

a1 = 2a2 - 6a3

a2 = 3a3 - 8a4

a3 = 4a4 - 10a5

hopelijk is het zo duidelijk zoniet laat het dan even horen

TD

Volgens mij vergeet je in je uitdrukking voor y'-(2y'/x) de term in 1/x mee te nemen.

Je hebt gevonden dat die coëfficiënt -2a_1 is en in y is er geen term in 1/x, dus a_1 = 0.

Dan heb je:

a0 = a1 - 4a2 <=> a0 = -4a2 <=> a2 = -a0/4.

a1 = 2a2 - 6a3 <=> 2a2 = 6a3 <=> -a0/2 = 6a3 <=> a3 = -a0/12

...

Zo krijg je alle a's in functie van a0, waarbij uit y(0) = 4 volgt dat a0 = 4.

okej26

, gelukt! Kom nu inderdaad op dezelfde waarden als jou uit. Bedankt voor de hulp. Bij de gekregen voorbeelden waren geen x^(-1) gevallen bij dus wist niet wat ik hier mee aanmoest. Maar deze inderdaad gelijkstellen aan 0 geeft het antwoordt. Bedankt

TD

Graag gedaan, succes nog!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Reeks

Reeks

Re: Reeks

Re: Reeks

Re: Reeks

Re: Reeks

Re: Reeks

Re: Reeks

Re: Reeks

Re: Reeks

Re: Reeks