Benadering formule

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 244

Benadering formule

Laat zien dat:
\(\frac{{x\sigma}}{{2\epsilon_0}}(\frac{{1}}{{\sqrt{x^2+R_1^2}}}-\frac{{1}}{{\sqrt{x^2+R_2^2}}})\)
wanneer x dichtbij de oorsprong zit, dat deze ongeveer gelijk wordt aan:
\(\frac{{\sigma}}{{2\epsilon_0}}(\frac{{1}}{{R_1}}-\frac{{1}}{{R_2}})x\)
Wat wordt bedoeld met 'dichtbij de oorsprong' ?

Dit is het vraagstuk waar ik problemen mee heb. Ik heb het bewijs proberen te vinden met een binomiale reeksontwikkeling, maar hier loop ik ontzettend mee vast. Kan iemand mij misschien helpen?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Benadering formule

Als x << R1 en R2, dan kan je x² verwaarlozen ten opzichte van die R1² en R2².

Meer lijkt er niet gebeurd te zijn, dan heb je 1/sqrt(R1²) = 1/R1 en idem voor R2.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Benadering formule

Edit: TD was eerst
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Berichten: 244

Re: Benadering formule

Ja dat zag ik ook al, maar waarom doen die mensen van de uitwerkingen zo moeilijk met binomiale reeksen pi.gif

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Benadering formule

Dat kan ik moeilijk uitleggen... Welke uitwerkingen? Welke mensen? pi.gif
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 244

Re: Benadering formule

De uitwerkingen komen van één of andere cd. Zie screenshot:

Afbeelding

De eerder gegeven formule staat weergegeven als vector, en is gedeeltelijk omgeschreven. Het komt exact overeen met de uitdrukking die ik gevonden heb (de laatste uitdrukking voor de i moet bovendien omgekeerd staan). Ik wil echter wel proberen te snappen wat ze nou gedaan hebben. Ik heb het geprobeerd te reproduceren, maar ik kom niet op hetzelfde uit....

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Benadering formule

Onder c wordt de volgende benadering gebruikt, voor a << 1:
\(\left( {1 + a} \right)^n \approx 1 + na\)
Toegepast op a = (x/R)² en n = -1/2:
\(\frac{1}{{\sqrt {1 + \left( {\frac{x}{R}} \right)^2 } }} = \left( {1 + \left( {\frac{x}{R}} \right)^2 } \right)^{ - \frac{1}{2}} \approx 1 - \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{R}} \right)^2 \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 244

Re: Benadering formule

Er staat niet x/R maar R/x. Haal maar bij deze uitdrukking:
\(\frac{{x\sigma}}{{2\epsilon_0}}(\frac{{1}}{{\sqrt{x^2+R_1^2}}}-\frac{{1}}{{\sqrt{x^2+R_2^2}}})\)
de x uit de wortel.

je mag geen binomiale reeks opstellen voor R/x omdat in dit geval R>>x, dus ik snap niet hoe ze daar nou opgekomen zijn. Er wordt nog iets buiten haakjes gehaald maar als je alles dan invult krijg je iets met een derde macht....

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Benadering formule

De regel die ik bedoelde (begint met "c") past de benadering toe op x/R, niet op R/x.

Bedoel je de overgang in het begin van die regel, waarbij je R/x herschrijft naar x/R?
\(\frac{1}{{\sqrt {\left( {\frac{R}{x}} \right)^2 + 1} }} = \frac{{\left| x \right|}}{R}\frac{1}{{\frac{{\left| x \right|}}{R}\sqrt {\left( {\frac{R}{x}} \right)^2 + 1} }} = \frac{{\left| x \right|}}{R}\frac{1}{{\sqrt {1 + \left( {\frac{x}{R}} \right)^2 } }}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 244

Re: Benadering formule

Dat bedoel ik inderdaad, maar als je alles teruginvult krijg je toch iets met 1/R^3?

Of ben ik nou gek?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Benadering formule

Nu verwaarlozen ze die kwadratische term, omdat die veel kleiner is dan die 1:
\(\frac{{\left| x \right|}}{R}\left( {1 - \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{R}} \right)^2 } \right) \approx \frac{{\left| x \right|}}{R}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 244

Re: Benadering formule

Nu zie ik het. Bedankt voor de hulp!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Benadering formule

Graag gedaan, succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer