Bepalen inhoud m.b.v. bepaalde integralen

azerty

Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat bij wenteling om de x-as tussen 0 en 1 van de volgende functie:

y =

\(\sqrt[4]{\frac{1-x}{1+x}}\)

Als bepaalde integraal bekom ik dan:

V =

\(\pi \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx\)

(pi * bepaalde integraal van de functie in het kwadraat)

Moest die wortel daar niet gestaan hebben was dit bijna direct opgelost maar vind niet hoe ik deze integraal kan oplossen.

Mvg, azerty

TD

Als de wortel je stoort, doe een substitutie om'em weg te krijgen:

\(\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} = y \Rightarrow \frac{{1 - x}}{{1 + x}} = y^2 \Leftrightarrow x = \frac{{1 - y^2 }}{{1 + y^2 }} \Rightarrow dx = - \frac{{4y}}{{\left( {1 + y} \right)^2 }}dy\)

Hiermee gaat de integraal over in:

\(\int {\sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} dx} \to \int {y\left( { - \frac{{4y}}{{\left( {1 + y} \right)^2 }}dy} \right)} = \int {\frac{{ - 4y^2 }}{{\left( {1 + y} \right)^2 }}dy} \)

De grenzen blijven gelijk als je van teken wisselt, of draaien dus om.

azerty

Bedankt! Had al eens een subsitutie geprobeerd maar had niet gezien hoe je moest herleiden naar x. Heb nu de subsitutie eens uitgewerkt en klopt inderdaad. Heb weer wat bijgeleerd!

TD

Dat werkt trouwens niet alleen hier, maar is wel vaker een trucje. Als je een vierkantswortel over het geheel hebt met een veeltermbreuk eronder, probeer dan de volledige wortel te substitueren. Ter controle, ik vind pi²/2-pi.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Bepalen inhoud m.b.v. bepaalde integralen

Bepalen inhoud m.b.v. bepaalde integralen

Re: Bepalen inhoud m.b.v. bepaalde integralen

Re: Bepalen inhoud m.b.v. bepaalde integralen

Re: Bepalen inhoud m.b.v. bepaalde integralen