Impliciete functie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 03-06-'07, 13:56

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Impliciete functie

Zij 3x²z-x²y²+2z³+3yz-5=0 en z is functie van x en y.

Bepaal
\(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\mbox{ en }\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 03-06-'07, 14:26

jo2

Berichten: 17

Re: Impliciete functie

\(f(x,y,z(x,y))\equiv0\)
\(\equiv\)
betekent identiek gelijk, dus linker en rechterlid afleiden, behoudt de gelijkheid
\(\frac{df}{dx}=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}+\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\equiv0\)
Dit oplossen naar
\(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\)
geeft
\(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}{\frac{\partial{f}}{\partial{z}}}\)
voor y volledig analoog

Heb je hier iets aan?
Omhoog

Bericht 03-06-'07, 15:26

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Impliciete functie

Als alternatief kan je de oorspronkelijke uitdrukking direct impliciet afleiden naar x (resp. y) met z(x,y) en dan oplossen naar de partiële afgeleide; dat komt uiteraard op het zelfde neer. Onder voorbehoud van foutjes:
\(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{2\,x\,y^2 - 6\,x\,z}{3\,x^2 + 3\,y + 6\,z^2}\)
\(\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=\frac{2\,x^2\,y - 3\,z}{3\,x^2 + 3\,y + 6\,z^2}}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”