Springen naar inhoud

Getaltheorie vraagstukje


  • Log in om te kunnen reageren

#1

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2007 - 17:24

Hier een wiskundig vraagstukje. Ik was niet zeker of deze in het raadsel topic paste, vandaar een eigen topic. moderators mogen gerust verplaatsen (of wissen).


Stel dat LaTeX , LaTeX , LaTeX een rij reŽle getallen is zodat LaTeX en zodat LaTeX , voor alle LaTeX .

Bewijs dat elke term van deze rij een natuurlijk getal is.


Eentje voor de getaltheoriefreaks. Indien vraagstukken als deze geapprecieerd worden volgen er nog.



Denis

Veranderd door HosteDenis, 04 juni 2007 - 17:24

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 juni 2007 - 22:28

Hier een wiskundig vraagstukje. Ik was niet zeker of deze in het raadsel topic paste, vandaar een eigen topic. moderators mogen gerust verplaatsen (of wissen).
Stel dat LaTeX

, LaTeX , LaTeX een rij reŽle getallen is zodat LaTeX en zodat LaTeX , voor alle LaTeX .

Bewijs dat elke term van deze rij een natuurlijk getal is.
Eentje voor de getaltheoriefreaks. Indien vraagstukken als deze geapprecieerd worden volgen er nog.
Denis

Wat bedoel je met LaTeX ?

#3

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juni 2007 - 22:50

Typfouten en ontbrekende woorden in de middelste alinea van mijn vorige post. Die alinea zou moeten zijn:

Die LaTeX zou moeten staan voor de verzameling natuurlijke getallen; LaTeX . LaTeX staat dus voor de verzameling natuurlijke getallen exclusief het getal 0, ofwel LaTeX .

Veranderd door HosteDenis, 04 juni 2007 - 22:51

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#4


  • Gast

Geplaatst op 05 juni 2007 - 19:23

Hier een wiskundig vraagstukje. Ik was niet zeker of deze in het raadsel topic paste, vandaar een eigen topic. moderators mogen gerust verplaatsen (of wissen).
Stel dat LaTeX

, LaTeX , LaTeX een rij reŽle getallen is zodat LaTeX en zodat LaTeX , voor alle LaTeX .

Bewijs dat elke term van deze rij een natuurlijk getal is.
Eentje voor de getaltheoriefreaks. Indien vraagstukken als deze geapprecieerd worden volgen er nog.
Denis

Je antwoord vermoedde ik al. Je zal echter moeten beginnen met n=2, anders is er sprake van een x0.

#5

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juni 2007 - 22:14

Je antwoord vermoedde ik al. Je zal echter moeten beginnen met n=2, anders is er sprake van een x0.


Ik dacht niet dat dit nodig was als ik specifiek LaTeX definieer als LaTeX ?
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#6

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 06 juni 2007 - 05:24

Voor LaTeX vindt men 1/2, geen probleem door het feit dat ze niet in de gevraagde rij staat.
Anders vindt men altijd produkten van 3 natuurlijke getallen als men achtereenvolgens LaTeX zoekt. Ik zie hier geen probleem.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 juni 2007 - 12:15

Voor LaTeX

vindt men 1/2, geen probleem door het feit dat ze niet in de gevraagde rij staat.
Anders vindt men altijd produkten van 3 natuurlijke getallen als men achtereenvolgens LaTeX zoekt. Ik zie hier geen probleem.

Er is geen sprake van een probleem. Het is alleen maar 'netjes'.

Opm: het is natuurlijk niet best als in de rij getallen x0, x1, x2, ... , x0 geen natuurlijk getal is.

#8

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2007 - 13:37

Men vindt altijd produkten van 3 natuurlijke getallen als men achtereenvolgens LaTeX

zoekt. Ik zie hier geen probleem.


Natuurlijk zie je hier geen probleem; je moet namelijk ook bewijzen dat je altijd een natuurlijk getal zal bekomen als term van de rij. Het feit dat je geen probleem ziet, betekent dat het te bewijzen is! :D

Aangezien deze topic al naar beneden aan het zakken is, zal ik het correcte bewijs maar posten. Indien jullie nog een vraagstukje wensen, wil ik er graag nog een posten.

Bij de meest elegante oplossing moest je er de binomiaalcoŽfficienten in herkent hebben; dan kun je met inductie bewijzen dat

LaTeX .

Deze gelijkheid is overduidelijk correct voor LaTeX ofwel LaTeX . Nu moeten we volgens inductie bewijzen dat de gelijkheid correct is voor LaTeX , indien we veronderstellen dat ze correct is voor LaTeX . Nu,

LaTeX .

En zo bewijzen we met inductie dat LaTeX . Het is dan ook duidelijk dat elke term van de rij ook een natuurlijk getal is.

Veranderd door HosteDenis, 09 juni 2007 - 13:38

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juni 2007 - 22:20

Natuurlijk zie je hier geen probleem; je moet namelijk ook bewijzen dat je altijd een natuurlijk getal zal bekomen als term van de rij. Het feit dat je geen probleem ziet, betekent dat het te bewijzen is! :D

Aangezien deze topic al naar beneden aan het zakken is, zal ik het correcte bewijs maar posten. Indien jullie nog een vraagstukje wensen, wil ik er graag nog een posten.

Bij de meest elegante oplossing moest je er de binomiaalcoŽfficienten in herkent hebben; dan kun je met inductie bewijzen dat

LaTeX

.

Deze gelijkheid is overduidelijk correct voor LaTeX ofwel LaTeX . Nu moeten we volgens inductie bewijzen dat de gelijkheid correct is voor LaTeX , indien we veronderstellen dat ze correct is voor LaTeX . Nu,

LaTeX .

En zo bewijzen we met inductie dat LaTeX . Het is dan ook duidelijk dat elke term van de rij ook een natuurlijk getal is.

Correct bewijs!
Dit bewijs gaat uit van de startwaarde x(1)=2.
Het doet er niet toe welke startwaarde je neemt, altijd zal x(n) een natuurlijk getal zijn!
Dit moet nog bewezen worden!

Bewijs met binomiaalcoeff, eveneens met volledige inductie.
Gegeven: nx(n)=2(2n-1)x(n-1) met n>=2 en x(1)=2
Te bew: x(n)=(2n nCr n)
Bew: n=2 geeft x(2)=(2*3)/2*x(1)=6=(4 nCr 2)
Neem aan: x(k-1)=(2k-2 nCr k-1) dan te bew: x(k)=(2k nCr k)
Bew: x(k)=2(2k-1)/k(2k-2 nCr k-1)= (2(2k-1)(2k-2). ... .k)/(k(k-1). ... .1)=(2k(2k-1). ... .(k+1))/(k(k-1). ... .1)=(2k nCr k)

#10

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 juni 2007 - 23:23

Inderdaad Safe, mooi! :D

Ik heb nog een vraagstukje, voor de enthusiaste wiskundige. Deze heb ik echter wel nog niet zelf gevonden... :D

Hier komt ie:

Stel LaTeX , LaTeX en LaTeX . Bewijs dat

LaTeX

Zoals ik dus al zei, heb ik zelf nog geen oplossing voor dit vraagstukje gevonden. Wel vind ik het vreemd dat termen als LaTeX niet als LaTeX geschreven worden. Dit zou wel een zeer vreemde en oppervlakkige manier zijn van een eventueel herkenbaar patroon trachten te verbergen. :D

Iemand enig idee?
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 juni 2007 - 08:53

Inderdaad Safe, mooi! :D

Ik heb nog een vraagstukje, voor de enthusiaste wiskundige. Deze heb ik echter wel nog niet zelf gevonden... :D

Hier komt ie:

Stel LaTeX

, LaTeX en LaTeX . Bewijs dat

LaTeX

Zoals ik dus al zei, heb ik zelf nog geen oplossing voor dit vraagstukje gevonden. Wel vind ik het vreemd dat termen als LaTeX niet als LaTeX geschreven worden. Dit zou wel een zeer vreemde en oppervlakkige manier zijn van een eventueel herkenbaar patroon trachten te verbergen. :D

Iemand enig idee?

We noemen dit cyclische verwisseling x,y,z => y,z,x => z,x,y => ... .
Het gelijkstellen van de variabelen geeft de ondergrens!

#12

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 juni 2007 - 17:29

Aha, had ik geen idee van. Ik rangschik dan ook altijd alfabetisch.

Nu, enig idee? Ik zou maar al te graag eens een oplossing voor dat probleem zien. Indien jij (of iemand anders) er niet aan uit geraakt post ik wel een ander vraagstuk, ťťn die ik zelf al oploste, net als de eerste.



Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 juni 2007 - 21:49

Aha, had ik geen idee van. Ik rangschik dan ook altijd alfabetisch.

Nu, enig idee? Ik zou maar al te graag eens een oplossing voor dat probleem zien. Indien jij (of iemand anders) er niet aan uit geraakt post ik wel een ander vraagstuk, ťťn die ik zelf al oploste, net als de eerste.
Denis

Je kan het volgende doen: stel y=px en z=qx, dan krijg je een functie in twee var p en q, uiteraard zijn p en q positief. En dan moet aan te tonen zijn(!), dat er een absoluut min 9/2 is voor p=q=1. Het is nogal bewerkelijk en wellicht is er een (elegantere) opl mogelijk.

#14

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 juni 2007 - 20:34

Met de beste wil van de wereld kan ik dat vraagstuk niet oplossen. Ik denk dat ik er ofwel het inzicht, ofwel de nodige leerstof voor mis.

Hoe dan ook, ik stop het tweede vraagstuk in dit topic in de doofpot (tenzij anderen geÔnteresseerd zijn een oplossing te zoeken).

Ik post alvast "Getaltheorie Vraagstuk 3", waarvan ik de oplossing reeds gevonden heb. Deze derde vraag zal dus geen onbeantwoord vraagstuk op dit forum achterlaten.


Getaltheorie Vraagstuk 3 (inspiratie QED)

Bewijs dat er oneindig veel drietallen LaTeX van natuurlijke getallen bestaan, zodat
- elk van deze getallen een deler is van het product van de twee andere getallen
- LaTeX
- LaTeX



De bedoeling van het posten van deze vraagstukjes is anderen aanzetten tot het oplossen van getaltheorie. De bedoeling is uiteindelijk ook alle antwoorden in deze topic vermeld te hebben.
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#15

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3102 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 juni 2007 - 21:13

Je kan het volgende doen: stel y=px en z=qx, dan krijg je een functie in twee var p en q, uiteraard zijn p en q positief. En dan moet aan te tonen zijn(!), dat er een absoluut min 9/2 is voor p=q=1. Het is nogal bewerkelijk en wellicht is er een (elegantere) opl mogelijk.

Je hebt dan toch nog steeds drie variabelen: x, p en q?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures