Springen naar inhoud

3 vragen.. krachtig, lief en moeilijk


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2005 - 15:51

hoi ik heb hier leuke vragen, ik kan meer posten.. mar ik heb nu problemen met deze twee:


stel je hebt 5 reele getallen, waarvan elke 3 getallen lengten zijn van de zijden van een driehoek.
Bewijs/toon aan dat tussen al de driehoeken die gevormd kunnen worden met die 5 gehele getallen, er minstens één scherhoekige driehoek zit.



los op in N²:
3n³+nm+4m³=349

toon aan dat er voor elk geheel postief getal n>0, er twee gehele positieve getallen (p,q) bestaan zodat n=2q(2p+1)


zoals te zien, gaat het voornamelijk om de technieken die je gebruikt en niet om de uitkomsten zelf. http://www.wetenscha...tyle_emoticons/default/icon_rolleyes.gif

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2005 - 17:13

Ik begrijp je vragen denk ik niet zo goed, dat geldt voor zowel vraag 1 als 2. Maar even over vraag 2: waar laat je de m? Schrijf je die eerst om (ofwel n vrijschrijven)? Dan kom ik om op het volgende uit:
klik hier voor plaatje

Ik vermoed echter dat ik je vraag verkeerd heb geïnterpreteerd...
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#3

Sint

    Sint


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2005 - 18:59

stel je hebt 5 reele getallen, waarvan elke 3 getallen lengten zijn van de zijden van een driehoek.
Bewijs/toon aan dat tussen al de driehoeken die gevormd kunnen worden met die 5 gehele getallen, er minstens één scherhoekige driehoek zit.


Bedoel je dit?

5 willekeurige getallen stellen zijden van driehoeken voor. Als je er 3 pakt kan je dus 1 driehoek maken. Minstens 1 van de te maken driehoeken (met de 5 getallen) is een driehoek met drie hoeken van minder dan 90 graden.

5 willekeurige getallen: k,l,m,n,o
Waarbij geldt: a,b,c,d,e zijn verschillende getallen. (dus a is geen b etc.)

Je kan dus zeggen: k<l<m<n<o

Ook weet je dat als een driehoek drie hoeken van minder dan 90 graden moet hebben de volgende stelling klopt:
a2+b2>c2
Want als hoek abc=90* dan a2+b2=c2
Neem de rechthoekige driehoek met zijden 3,4,5 maar voor je. Maak nu de rechte hoek iets kleiner, maar laat de zijden 3 en 4 (a en b) even lang. c (de schuine) zal nu afnemen.

Nu ga je alle volgordes af:

k2+l2>m2? Weet je niet zeker.. k=1, l=2, m=1800..
geldt ook voor k+l=n en k+l=o
Nouja lang verhaal kort:
n2+o2>k2 ? klopt. Aangezien n en o beiden groter zijn dan k is hun kwadraat bij elkaar opgeteld ook zeker groter dan k2.

de tweede weet ik zo snel niet.. maar de derde:

toon aan dat er voor elk geheel postief getal n>0, er twee gehele positieve getallen (p,q) bestaan zodat n=2q(2p+1)


Stel n=1. Nu moeten er twee positieve getallen p en q zijn waarbij geldt n=2q(2p+1).
Dit is alleen zo als p én q 0 zijn. Anders krijg je 2q * (iets) is altijd groter dan 1 of 2q * (2p+1 = altijd groter dan 1) weer iets dat groter is dan 1.
Ook voor n=2 is het lastig aangezien je dan p=1 en q=0 moet hebben, maar p,q > 0 toch.. kan dus ook niet.

#4


  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2005 - 19:25

Ik begrijp je vragen denk ik niet zo goed, dat geldt voor zowel vraag 1 als 2. Maar even over vraag 2: waar laat je de m? Schrijf je die eerst om (ofwel n vrijschrijven)? Dan kom ik om op het volgende uit:
klik hier voor plaatje

Ik vermoed echter dat ik je vraag verkeerd heb geïnterpreteerd...


elke vraag is onafhankelijk van de andere vragen.

de tweede vraag is een vergelijking met twee onbekenden die je moet oplossen in de verzameling N. Dus je moet alle getallen n en m vinden die oplossingen zijn van de vergelijking.



voor de andere reactie.
de 5 getallen: bijv. k,l,m,n,o. Elke 3 getallen ervan, hoe je ze ook kiest, kunnen de zijden zijn van een drieheok.
bijv. K,l,m zijn zijden van een driehoek KLM
maar je hebt ook driehoeken: KMO, MNO, KOM, NML ect..
dus elke combinatie van 3 getallen stelt de zijden van een driehoek voor.

Nu moet je aantonen dat tussen al die driehoeken die je maken met al die combinaties, er precies één of meer zijn waarvan de hoeken inderdaad kleiner zijn als 90.
Dus er kan bijv. een driehoek ertussen zitten met de hoeken 50,80,50 ...ect..


bij de derde vraag.
als n=2, dan kan je bijv. de getallen (p,q)=(1,0) kiezen.
want 2^1(o+1)=2
maar ik denk nie tda tje ver komt met deze aanpak.
Probeer het op een andere manier..

#5


  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2005 - 19:26

Ik begrijp je vragen denk ik niet zo goed, dat geldt voor zowel vraag 1 als 2. Maar even over vraag 2: waar laat je de m? Schrijf je die eerst om (ofwel n vrijschrijven)? Dan kom ik om op het volgende uit:
klik hier voor plaatje

Ik vermoed echter dat ik je vraag verkeerd heb geïnterpreteerd...


elke vraag is onafhankelijk van de andere vragen.

de tweede vraag is een vergelijking met twee onbekenden die je moet oplossen in de verzameling N. Dus je moet alle getallen n en m vinden die oplossingen zijn van de vergelijking.



voor de andere reactie.
de 5 getallen: bijv. k,l,m,n,o. Elke 3 getallen ervan, hoe je ze ook kiest, kunnen de zijden zijn van een drieheok.
bijv. K,l,m zijn zijden van een driehoek KLM
maar je hebt ook driehoeken: KMO, MNO, KOM, NML ect..
dus elke combinatie van 3 getallen stelt de zijden van een driehoek voor.

Nu moet je aantonen dat tussen al die driehoeken die je maken met al die combinaties, er precies één of meer zijn waarvan de hoeken inderdaad kleiner zijn als 90.
Dus er kan bijv. een driehoek ertussen zitten met de hoeken 50,80,50 ...ect..


bij de derde vraag.
als n=2, dan kan je bijv. de getallen (p,q)=(1,0) kiezen.
want 2^1(o+1)=2
maar ik denk nie tda tje ver komt met deze aanpak.
Probeer het op een andere manier..

p en q kunnen inderdaad (o,o). dus niet perse positief maar gewoon kleiner of gelijk aan 0.

#6


  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2005 - 19:28

Ik begrijp je vragen denk ik niet zo goed, dat geldt voor zowel vraag 1 als 2. Maar even over vraag 2: waar laat je de m? Schrijf je die eerst om (ofwel n vrijschrijven)? Dan kom ik om op het volgende uit:
klik hier voor plaatje

Ik vermoed echter dat ik je vraag verkeerd heb geïnterpreteerd...


elke vraag is onafhankelijk van de andere vragen.

de tweede vraag is een vergelijking met twee onbekenden die je moet oplossen in de verzameling N. Dus je moet alle getallen n en m vinden die oplossingen zijn van de vergelijking.



voor de andere reactie.
de 5 getallen: bijv. k,l,m,n,o. Elke 3 getallen ervan, hoe je ze ook kiest, kunnen de zijden zijn van een drieheok.
bijv. K,l,m zijn zijden van een driehoek KLM
maar je hebt ook driehoeken: KMO, MNO, KOM, NML ect..
dus elke combinatie van 3 getallen stelt de zijden van een driehoek voor.

Nu moet je aantonen dat tussen al die driehoeken die je maken met al die combinaties, er precies één of meer zijn waarvan de hoeken inderdaad kleiner zijn als 90.
Dus er kan bijv. een driehoek ertussen zitten met de hoeken 50,80,50 ...ect..


bij de derde vraag.
als n=2, dan kan je bijv. de getallen (p,q)=(1,0) kiezen.
want 2^1(o+1)=2
maar ik denk nie tda tje ver komt met deze aanpak.
Probeer het op een andere manier..

p en q kunnen inderdaad (o,o). dus niet perse positief maar gewoon kleiner of gelijk aan 0.

natuurlijk bedoel ik: groter of gelijk aan 0.
p,q>=0

#7

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2005 - 19:37

Ik begrijp je vragen denk ik niet zo goed, dat geldt voor zowel vraag 1 als 2. Maar even over vraag 2: waar laat je de m? Schrijf je die eerst om (ofwel n vrijschrijven)? Dan kom ik om op het volgende uit:
klik hier voor plaatje

Ik vermoed echter dat ik je vraag verkeerd heb geïnterpreteerd...


elke vraag is onafhankelijk van de andere vragen.


Ah kijk, dat had ik dan idd verkeerd gelezen. Oké, duidelijk nu.


de tweede vraag is een vergelijking met twee onbekenden die je moet oplossen in de verzameling N. Dus je moet alle getallen n en m vinden die oplossingen zijn van de vergelijking.


Heb ik dan nog niet de antwoorden daarop gegeven in mijn post? Of was dat niet goed? Dit was mijn antwoord.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#8

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2005 - 19:40

Oh, ik zie het al, correctie. Het antwoord moet met gehele getallen zijn...
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#9

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2005 - 19:53

Tester, weet je zeker dat deze opgave: 3n³+nm+4m³=349, goed geformuleerd hebt? Ik weet toch voor 99% zeker dat deze geen geheeltallige oplossingen heeft. Of kun jij het tegendeel bewijzen door me één oplossing te geven?

Of... kan het soms ook zijn dat er helemaal geen oplossing hoeft te zijn? Dat zou wel flauw zijn dan.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#10


  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2005 - 20:09

Tester, weet je zeker dat deze opgave: 3n³+nm+4m³=349, goed geformuleerd hebt? Ik weet toch voor 99% zeker dat deze geen geheeltallige oplossingen heeft. Of kun jij het tegendeel bewijzen door me één oplossing te geven?

Of... kan het soms ook zijn dat er helemaal geen oplossing hoeft te zijn? Dat zou wel flauw zijn dan.

het heeft inderdaad geen oplossing.
maar als je zo'n odpracht krijgt, dan hoef er niet perse een oplossing te bestaan, maar dat moet je ook kunne aantonen.. ik ga zo je bewisje nachecken

#11

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 februari 2005 - 20:14

Tester, weet je zeker dat deze opgave: 3n³+nm+4m³=349, goed geformuleerd hebt? Ik weet toch voor 99% zeker dat deze geen geheeltallige oplossingen heeft. Of kun jij het tegendeel bewijzen door me één oplossing te geven?

Of... kan het soms ook zijn dat er helemaal geen oplossing hoeft te zijn? Dat zou wel flauw zijn dan.

het heeft inderdaad geen oplossing.
maar als je zo'n odpracht krijgt, dan hoef er niet perse een oplossing te bestaan, maar dat moet je ook kunne aantonen.. ik ga zo je bewisje nachecken

Bewijs heb ik niet gegeven. Wel heb ik gegeven wat de oplossingen wel zijn. Zie een bovenstaande link naar het plaatje. Dat heb ik overigens een wiskundecomputerprogramma laten doen. Het geeft wel heel duidelijk aan dat gehele getallen onmogelijk zijn.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#12


  • Gast

Geplaatst op 14 februari 2005 - 21:01

Tester, weet je zeker dat deze opgave: 3n³+nm+4m³=349, goed geformuleerd hebt? Ik weet toch voor 99% zeker dat deze geen geheeltallige oplossingen heeft. Of kun jij het tegendeel bewijzen door me één oplossing te geven?

Of... kan het soms ook zijn dat er helemaal geen oplossing hoeft te zijn? Dat zou wel flauw zijn dan.

het heeft inderdaad geen oplossing.
maar als je zo'n odpracht krijgt, dan hoef er niet perse een oplossing te bestaan, maar dat moet je ook kunne aantonen.. ik ga zo je bewisje nachecken

Bewijs heb ik niet gegeven. Wel heb ik gegeven wat de oplossingen wel zijn. Zie een bovenstaande link naar het plaatje. Dat heb ik overigens een wiskundecomputerprogramma laten doen. Het geeft wel heel duidelijk aan dat gehele getallen onmogelijk zijn.

lieverd, het gaat inderdaad om de verzameling N. daarin zijn er geen elementen n en m die voldoen aan de vergelijking. He tis leuk om zoiets af en toe te oplossen, soms ide het bewijs lang, soms kort... ik heb een redelijk lang bewijsje.. denk aan priemgetallen en factoriseren

#13

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2005 - 21:34

Hier en niet zo elegant bewijs:

we kunnen onmiddelijk afleiden dat : m<5 en n<5 (door alternerend m en n = 0 te stellen)
verder weten we dat n oneven moet zijn en m even , want in de andere gevallen krijgen we in het linkerdeel een even getal
n en m moeten verschillend van nul zijn want 349/4 en 349/3 zijn geen gehele getallen.
Blijft over n = 1 of 3 en m = 4 of 2
De vier mogelijkheden uitproberen
Dit klopt niet dus geen enkel getallenpaar van NxN voldoet aan deze vergelijking.
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

#14

Sint

    Sint


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2005 - 23:51

voor de andere reactie.
de 5 getallen: bijv. k,l,m,n,o. Elke 3 getallen ervan, hoe je ze ook kiest, kunnen de zijden zijn van een drieheok.
bijv. K,l,m zijn zijden van een driehoek KLM
maar je hebt ook driehoeken: KMO, MNO, KOM, NML ect..
dus elke combinatie van 3 getallen stelt de zijden van een driehoek voor.

Nu moet je aantonen dat tussen al die driehoeken die je maken met al die combinaties, er precies één of meer zijn waarvan de hoeken inderdaad kleiner zijn als 90.
Dus er kan bijv. een driehoek ertussen zitten met de hoeken 50,80,50 ...ect..


dat heb ik toch gedaan?? is mijn antwoord fout of niet?

bij de derde vraag.
als n=2, dan kan je bijv. de getallen (p,q)=(1,0) kiezen.
want 2^1(o+1)=2
maar ik denk nie tda tje ver komt met deze aanpak.
Probeer het op een andere manier..


Ik ging ervanuit dat als n>0 p en q ook >0. Ook nam ik aan dat p moet verschillen van q.. wat opzich logische aannamen zijn vanuit je vraagstelling.

Maar nu dan:

Te bewijzen: voor elke n>0 n elt. N geldt n=2q(2p+1) waarbij (p,q)>=0 elt. N.

n=2q(2p+1)
n=2q*2p+2q
Nu zien we dat er aangezien er +2q staat er óf een 2-voud óf 1 bij komt (q=0)
Als we kiezen q=0 dan:
n=20*2p+20 = 1*2p+1
Omdat we p vrij mogen kiezen hebben we nu alle oneven getallen te pakken.
Omdat we kunnen zeggen dat elk even getal een veelvoud is van een oneven getal (IE: 84 = 2*42 = 2*2*21) en we alle oneven getallen kunnen creëren met (2p+1) kunnen we ook alle even getallen maken.

Dus voor elke n>0 n elt. N geldt n=2q(2p+1) waarbij (p,q)>=0 elt. N. QED

#15

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 februari 2005 - 18:24

lieverd, het gaat inderdaad...


Op deze manier word ik lieverd niet aangesproken. Kom op zeg, we zijn toch allemaal wel verstandig genoeg om elkaar te respecteren hoop ik.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures