De opgave lijkt redelijk eenvoudig, maar ik vind maar geen goed bewijs:
Elke gehele macht van 6 zal eindigen op een 6. Bewijs.
Het is zeker weten met modulo rekenen (modulo 10) en als k=1 klopt het zeker. Veel verder kom ik niet.
Dus:
6k = 6 mod(10)
Laatste berichten
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Bewijs 6^k = 6mod(10)
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 6.905
Re: Bewijs 6^k = 6mod(10)
neen
\(6^k \, mod \, 10 = 6\)
moet je bewijzenHet vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 7.068
Re: Bewijs 6^k = 6mod(10)
Een hint: gebruik volledige inductie en de gegevens dat:
Succes.
\(6^k = 6 \cdot 6 \cdot 6^{k-2}\)
\(6 = 5+1\)
\(6 = 2 \cdot 3\)
Succes.
-
- Berichten: 4
Re: Bewijs 6^k = 6mod(10)
Volledige inductie heb ik net even opgezocht.
Het zou dan zo gaan:?
Het zou dan zo gaan:?
\(6^1 \equiv 6 \, mod \, 10\)
Dan gaan we ervan uit dat dit geld voor een willekeurige k (\(\in \nn\)
)\(6^k \equiv 6 \, mod \, 10\)
En hierop gaan we voort dat het zou gelden voor k+1 en k+2\(6^k^+^1 = 6^k6\)
\(6^k^+^1 \equiv 6 \, mod \, 10 . 6 \, mod \, 10\)
Of zit ik nu helemaal verkeerd?-
- Berichten: 4
Re: Bewijs 6^k = 6mod(10)
\(6^k^+^1 \equiv 6 \, mod \, 10 . 6 \, mod \, 10\)
Net iets te snel geweest net, dit is de oplossing want:\(6^k^+^1 \equiv 6 \, mod \, 10 . 6 \, mod \, 10 \)
\(\Updownarrow\)
\(6^k^+^1 \equiv 36 \, mod \, 10 \)
\(\Updownarrow\)
\(6^k^+^1 \equiv 6 \, mod \, 10 \)
En als we dan als k 1 volgt direct dat dit geldt voor k is 2 enzoverder.\(6^k^+^1 \equiv 6 \, mod \, 10 . 6 \, mod \, 10\)
Net iets te snel geweest net, dit is de oplossing want:\(6^k^+^1 \equiv 6 \, mod \, 10 . 6 \, mod \, 10 \)
\(\Updownarrow\)
Hier ben ik wel niet zeker, de rekenregel die ik gebruikt heb is:\(a \equiv b \, mod \, m \, en \, c \equiv d \, mod \, m\)
\(\Updownarrow\)
\(a.c \equiv b.d \, mod \, m\)
\(6^k^+^1 \equiv 36 \, mod \, 10 \)
\(\Updownarrow\)
\(6^k^+^1 \equiv 6 \, mod \, 10 \)
En als we dan als k 1 volgt direct dat dit geldt voor k is 2 enzoverder.-
- Berichten: 7.068
Re: Bewijs 6^k = 6mod(10)
\(6^1 \bmod 10 = 6\)
\(6^2 \bmod 10 = 36 \bmod 10 = 6\)
\(6^(k+2) \bmod 10 = (6 \cdot 6 \cdot 6^k) \bmod 10 = ((1+5) \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6^k) \bmod 10 \)
\( = (5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6^k +1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6^k) \bmod 10 = (10 \cdot 3 \cdot 6^k +6^{k+1}) \bmod 10 = 6^{k+1} \bmod 10 \)
