Differentieren van slingerfunctie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 481

Differentieren van slingerfunctie

Ik bestudeerde de vergelijkingen van de bewegingen van een slinger op http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_%28derivations%29

hetgene wat helemaal onderaan staat, daar gaat mijn vraag over:

Afbeelding

Goed, nu willen we de acceleratie van de slinger, zijn hoekacceleratie dan..

Dat kunnen we doen door die formule te differentieren, uiteraard.. En volgens wiki kan dat met de kettingregel.. ( met respect tot de tijd).

Alleen.. Ik zie in die functie die wiki differentieert geen tijd. .. De methode die ze dan ook gebruiken volg ik niet.. Wat doen ze in hemelsnaam daar? :D

Deze volg ik wel:

Afbeelding

Er staat gewoon dat we de snelheidsfunctie differentieren met respect tot tijd..

Maar wat doen ze daarna?.. :D
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..

Correct me if I'm wrong.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentieren van slingerfunctie

De hoek θ is afhankelijk van de tijd, daar passen ze de kettingregel dus toe.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Differentieren van slingerfunctie

teta is de hoek, afgeleid naar de tijd geeft dat de hoeksnelheid omega, nog eens afleiden geeft de hoekversnelling alfa.

Net zoals je de plaats hebt, afgeleid de snelheid en nog eens afgeleid de snelheid.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Differentieren van slingerfunctie

en die laatste moet natuurlijk de versnelling zijn :D

Maar dat had Heezen ook nog wel door. Het ging hem erom hóe dat afleiden gedaan werd; TD gaf het antwoord: de kettingregel aangezien de hoek afhangt van de tijd.

Daardoor komt er een term
\(\frac{d\theta}{dt}\)
te staan, en die is weer gelijk aan
\(\sqrt{\frac{2g}{\ell}(\cos\theta-\cos\theta_0)}\)
, waardoor er een hoop wegvalt.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Differentieren van slingerfunctie

laatste is aanvullend op wat TD zei.

zo zou het zeker moeten lukken
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 481

Re: Differentieren van slingerfunctie

Rov schreef:teta is de hoek, afgeleid naar de tijd geeft dat de hoeksnelheid omega, nog eens afleiden geeft de hoekversnelling alfa.

Net zoals je de plaats hebt, afgeleid de snelheid en nog eens afgeleid de snelheid.
Goed, maar we kwamen niet aan de hoeksnelheidformule door de hoek af te leiden..

We hadden dus geen functie in de vorm
\(\theta = ct\)
waarbij c een constante, die we afleidden.

Aha.. Ik zie het :D

Soms zie ik de meest simpele ( goed, voor een 5vwo leerling niet het simpelste..) dingen niet .. :D

In ieder geval: Ik zie inderdaad dat je de kettingregel twee keer moet toepassen:

één keer om met de wortel af te handelen, en een volgende keer omdat er in de functie theta voorkomt, en geen tijd, dus moet je de gedifferentieerde functie ook nog vermenigvuldigen met de afgeleide van theta met respect tot de tijd ( Wat erg mooi uitkomt aangezien je ze op mekaar mag wegdelen).
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..

Correct me if I'm wrong.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentieren van slingerfunctie

Inderdaad. Als ik die hele formule met de wortel even F noem, dan doen ze dus:
\(\frac{{\mbox{d}F}}{{\mbox{d}t}} = \frac{{\mbox{d}F}}{{\mbox{d}\theta }}\frac{{\mbox{d}\theta }}{{\mbox{d}t}}\)
En dat is precies de kettingregel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 481

Re: Differentieren van slingerfunctie

Ik heb een ander vraag, weer over ( de wiskunde achter) slingers:

We hebben dus de tweede afgeleide berekend ( dat was mijn vraag in de opening post) , en hebben dus deze ( differentiaal) vergelijking: Nu gaan we
\( \theta (t) \)
berekenen.
\( \theta '' (t) = - \frac{g}{l} \sin(\theta)\)
Voor kleine hoeken geldt
\( \sin (x) \approx x \)
dus die vergelijking verandert in:
\( \theta '' (t) = - \frac{g}{l} \theta\)
Oftewel: een constante maal de functie geeft de tweede afgeleide..

Het is voor de hand liggend om een functie te nemen in de vorm van
\(z= re^{ct} \)
Nadat we deze functie tweemaak hebben gedifferentieerd, bekommen we :
\( z''=c^2z\)
Dus:
\( c^2=-\frac{g}{l} \)
\( c= i \sqrt{\frac{g}{l}} \)
Dit kunnen we natuurlijk ook met cos en sin noteren:
\( z=re^{i \sqrt{\frac{g}{l}}} = r( \cos(\sqrt{\frac{g}{l}} t)+i\sin(\sqrt{\frac{g}{l}} t) )\)
oftewel:
\( \theta (t) = \theta_0 \cos(\sqrt{\frac{g}{l}} t) \)
Maar heeft dat complexe gedeelte ( de sin ) geen betekenis dan..?
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..

Correct me if I'm wrong.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentieren van slingerfunctie

Je kan de oplossingen in reële vorm schrijven. De algemene oplossing dan:
\(\theta \left( t \right) = c_1 \sin \left( {\sqrt {\frac{g}{l}} t} \right) + c_2 \cos \left( {\sqrt {\frac{g}{l}} t} \right)\)
Met een beginvoorwaarden
\(\theta \left( 0 \right) = \theta _0\)
en
\(\theta '\left( 0 \right) = 0\)
is de oplossing:
\(\theta \left( t \right) = \theta _0 \cos \left( {\sqrt {\frac{g}{l}} t} \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 481

Re: Differentieren van slingerfunctie

In een opgave staat dat je ook de wrijving in rekening moet nemen, de wrijving due aan de lucht is recht evenredig met de snelheid en lengte van de slinger. De wrijvingsconstante noemen we ''k''.
\( \theta '' (t) = - \frac{g}{l} \sin(\theta)\)
verandert in ( dit is gegeven, een opgave was omdit uit te leggen):
\(ml\theta'' (t) + kl\theta '(t) = - mg \theta (t) \)
. Deze vergelijking wordt vervolgens:
\(mlz^2 + klz = - mg\)
Hierbij hebben ze gedaan:
\( \theta (t)= e^{zt}\)
waarbij ''z'' een willekeurig complex getal is. Dit volg ik allemaal nog in meer of mindere mate.

Ik snap hoe ze aan deze formules komen, dat is mijn vraag niet.

Nu gaan we
\( \theta (t) \)
berekenen.

Eerst berekenen we ''z'' , ik kom op:
\( z= i \sqrt{\frac{g}{l} - \left( \frac{k}{2m} \right) ^2 } - \frac{k}{2m} \)
De vergelijking die de hoek theta weergeeft is dus:
\( \theta (t) = e^{\left( i \sqrt{\frac{g}{l} - \left( \frac{k}{2m} \right) ^2 } - \frac{k}{2m} \right)t} \)
Goed.. En nu moeten we nog iets zien te vinden met de cosinus waar we echt wat aan hebben..

Het probleem is dat theta (t) geen complex getal is, - we kunnen het dus niet meteen opschrijven in de ''cos+i sin'' vorm..

Dat verder vereenvoudigen, hoe moet ik dat doen.. Help me..
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..

Correct me if I'm wrong.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Differentieren van slingerfunctie

Heezen schreef:Goed.. En nu moeten we nog iets zien te vinden met de cosinus waar we echt wat aan hebben..

Het probleem is dat theta (t) geen complex getal is, - we kunnen het dus niet meteen opschrijven in de ''cos+i sin'' vorm..

Dat verder vereenvoudigen, hoe moet ik dat doen.. Help me..
Maar je kunt toch gewoon
\(e^{i\phi}=cos\phi+i\sin{\phi}\)
gebruiken?
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Berichten: 481

Re: Differentieren van slingerfunctie

Maar je kunt toch gewoon
\(e^{i\phi}=cos\phi+i\sin{\phi}\)
gebruiken?
Owjah? Bij mij lukte dat niet.. Wat is
\(\phi \)
dan?
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..

Correct me if I'm wrong.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Differentieren van slingerfunctie

Ten eerste: je vergeet met de abc-formule het plusmin-teken: er zijn twee oplossingen voor z.

Ik noem
\(\beta=-\frac{k}{2m}\)
\(z_{1,2}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\frac{g}{\ell}}\)
De oplossing wordt dan
\(\theta(t)=Ae^{-z_1t}+BAe^{-z_2t}\)
Je kunt nu drie situaties onderscheiden:

(1)
\(\beta^2>\frac{g}{\ell}\)
(2)
\(\beta^2=\frac{g}{\ell}\)
(3)
\(\beta^2<\frac{g}{\ell}\)
Jij wilt blijkbaar naar de complexe oplossing (geval (3)). Dan is de oplossing
\(\theta(t)=e^{\beta t}\left[Ce^{i\sqrt{\frac{g}{\ell}-\beta^2}t}+De^{-i\sqrt{\frac{g}{\ell}-\beta^2}t}\right]\)
met C en D complexe constanten afhankelijk van randvoorwaarden.

Hiervan kun je het reële deel nemen.

In jouw oplossing moet je dus gebruikmaken van
\(e^{z+w}=e^ze^w\)
\(\forall z,w\in\cc\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Reageer