Differentieren van slingerfunctie
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 481
Differentieren van slingerfunctie
Ik bestudeerde de vergelijkingen van de bewegingen van een slinger op http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_%28derivations%29
hetgene wat helemaal onderaan staat, daar gaat mijn vraag over:
Goed, nu willen we de acceleratie van de slinger, zijn hoekacceleratie dan..
Dat kunnen we doen door die formule te differentieren, uiteraard.. En volgens wiki kan dat met de kettingregel.. ( met respect tot de tijd).
Alleen.. Ik zie in die functie die wiki differentieert geen tijd. .. De methode die ze dan ook gebruiken volg ik niet.. Wat doen ze in hemelsnaam daar?
Deze volg ik wel:
Er staat gewoon dat we de snelheidsfunctie differentieren met respect tot tijd..
Maar wat doen ze daarna?..
hetgene wat helemaal onderaan staat, daar gaat mijn vraag over:
Goed, nu willen we de acceleratie van de slinger, zijn hoekacceleratie dan..
Dat kunnen we doen door die formule te differentieren, uiteraard.. En volgens wiki kan dat met de kettingregel.. ( met respect tot de tijd).
Alleen.. Ik zie in die functie die wiki differentieert geen tijd. .. De methode die ze dan ook gebruiken volg ik niet.. Wat doen ze in hemelsnaam daar?
Deze volg ik wel:
Er staat gewoon dat we de snelheidsfunctie differentieren met respect tot tijd..
Maar wat doen ze daarna?..
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..
Correct me if I'm wrong.
Correct me if I'm wrong.
- Berichten: 24.578
Re: Differentieren van slingerfunctie
De hoek θ is afhankelijk van de tijd, daar passen ze de kettingregel dus toe.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 2.242
Re: Differentieren van slingerfunctie
teta is de hoek, afgeleid naar de tijd geeft dat de hoeksnelheid omega, nog eens afleiden geeft de hoekversnelling alfa.
Net zoals je de plaats hebt, afgeleid de snelheid en nog eens afgeleid de snelheid.
Net zoals je de plaats hebt, afgeleid de snelheid en nog eens afgeleid de snelheid.
- Berichten: 7.556
Re: Differentieren van slingerfunctie
en die laatste moet natuurlijk de versnelling zijn
Maar dat had Heezen ook nog wel door. Het ging hem erom hóe dat afleiden gedaan werd; TD gaf het antwoord: de kettingregel aangezien de hoek afhangt van de tijd.
Daardoor komt er een term
Maar dat had Heezen ook nog wel door. Het ging hem erom hóe dat afleiden gedaan werd; TD gaf het antwoord: de kettingregel aangezien de hoek afhangt van de tijd.
Daardoor komt er een term
\(\frac{d\theta}{dt}\)
te staan, en die is weer gelijk aan \(\sqrt{\frac{2g}{\ell}(\cos\theta-\cos\theta_0)}\)
, waardoor er een hoop wegvalt.Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
- Berichten: 6.905
Re: Differentieren van slingerfunctie
laatste is aanvullend op wat TD zei.
zo zou het zeker moeten lukken
zo zou het zeker moeten lukken
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 481
Re: Differentieren van slingerfunctie
Goed, maar we kwamen niet aan de hoeksnelheidformule door de hoek af te leiden..Rov schreef:teta is de hoek, afgeleid naar de tijd geeft dat de hoeksnelheid omega, nog eens afleiden geeft de hoekversnelling alfa.
Net zoals je de plaats hebt, afgeleid de snelheid en nog eens afgeleid de snelheid.
We hadden dus geen functie in de vorm
\(\theta = ct\)
waarbij c een constante, die we afleidden.Aha.. Ik zie het
Soms zie ik de meest simpele ( goed, voor een 5vwo leerling niet het simpelste..) dingen niet ..
In ieder geval: Ik zie inderdaad dat je de kettingregel twee keer moet toepassen:
één keer om met de wortel af te handelen, en een volgende keer omdat er in de functie theta voorkomt, en geen tijd, dus moet je de gedifferentieerde functie ook nog vermenigvuldigen met de afgeleide van theta met respect tot de tijd ( Wat erg mooi uitkomt aangezien je ze op mekaar mag wegdelen).
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..
Correct me if I'm wrong.
Correct me if I'm wrong.
- Berichten: 24.578
Re: Differentieren van slingerfunctie
Inderdaad. Als ik die hele formule met de wortel even F noem, dan doen ze dus:
\(\frac{{\mbox{d}F}}{{\mbox{d}t}} = \frac{{\mbox{d}F}}{{\mbox{d}\theta }}\frac{{\mbox{d}\theta }}{{\mbox{d}t}}\)
En dat is precies de kettingregel."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 481
Re: Differentieren van slingerfunctie
Ik heb een ander vraag, weer over ( de wiskunde achter) slingers:
We hebben dus de tweede afgeleide berekend ( dat was mijn vraag in de opening post) , en hebben dus deze ( differentiaal) vergelijking: Nu gaan we
Het is voor de hand liggend om een functie te nemen in de vorm van
We hebben dus de tweede afgeleide berekend ( dat was mijn vraag in de opening post) , en hebben dus deze ( differentiaal) vergelijking: Nu gaan we
\( \theta (t) \)
berekenen.\( \theta '' (t) = - \frac{g}{l} \sin(\theta)\)
Voor kleine hoeken geldt \( \sin (x) \approx x \)
dus die vergelijking verandert in:\( \theta '' (t) = - \frac{g}{l} \theta\)
Oftewel: een constante maal de functie geeft de tweede afgeleide..Het is voor de hand liggend om een functie te nemen in de vorm van
\(z= re^{ct} \)
Nadat we deze functie tweemaak hebben gedifferentieerd, bekommen we : \( z''=c^2z\)
Dus: \( c^2=-\frac{g}{l} \)
\( c= i \sqrt{\frac{g}{l}} \)
Dit kunnen we natuurlijk ook met cos en sin noteren:\( z=re^{i \sqrt{\frac{g}{l}}} = r( \cos(\sqrt{\frac{g}{l}} t)+i\sin(\sqrt{\frac{g}{l}} t) )\)
oftewel: \( \theta (t) = \theta_0 \cos(\sqrt{\frac{g}{l}} t) \)
Maar heeft dat complexe gedeelte ( de sin ) geen betekenis dan..?Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..
Correct me if I'm wrong.
Correct me if I'm wrong.
- Berichten: 24.578
Re: Differentieren van slingerfunctie
Je kan de oplossingen in reële vorm schrijven. De algemene oplossing dan:
\(\theta \left( t \right) = c_1 \sin \left( {\sqrt {\frac{g}{l}} t} \right) + c_2 \cos \left( {\sqrt {\frac{g}{l}} t} \right)\)
Met een beginvoorwaarden \(\theta \left( 0 \right) = \theta _0\)
en \(\theta '\left( 0 \right) = 0\)
is de oplossing:\(\theta \left( t \right) = \theta _0 \cos \left( {\sqrt {\frac{g}{l}} t} \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 481
Re: Differentieren van slingerfunctie
In een opgave staat dat je ook de wrijving in rekening moet nemen, de wrijving due aan de lucht is recht evenredig met de snelheid en lengte van de slinger. De wrijvingsconstante noemen we ''k''.
Ik snap hoe ze aan deze formules komen, dat is mijn vraag niet.
Nu gaan we
Eerst berekenen we ''z'' , ik kom op:
Het probleem is dat theta (t) geen complex getal is, - we kunnen het dus niet meteen opschrijven in de ''cos+i sin'' vorm..
Dat verder vereenvoudigen, hoe moet ik dat doen.. Help me..
\( \theta '' (t) = - \frac{g}{l} \sin(\theta)\)
verandert in ( dit is gegeven, een opgave was omdit uit te leggen):\(ml\theta'' (t) + kl\theta '(t) = - mg \theta (t) \)
. Deze vergelijking wordt vervolgens:\(mlz^2 + klz = - mg\)
Hierbij hebben ze gedaan: \( \theta (t)= e^{zt}\)
waarbij ''z'' een willekeurig complex getal is. Dit volg ik allemaal nog in meer of mindere mate. Ik snap hoe ze aan deze formules komen, dat is mijn vraag niet.
Nu gaan we
\( \theta (t) \)
berekenen.Eerst berekenen we ''z'' , ik kom op:
\( z= i \sqrt{\frac{g}{l} - \left( \frac{k}{2m} \right) ^2 } - \frac{k}{2m} \)
De vergelijking die de hoek theta weergeeft is dus:\( \theta (t) = e^{\left( i \sqrt{\frac{g}{l} - \left( \frac{k}{2m} \right) ^2 } - \frac{k}{2m} \right)t} \)
Goed.. En nu moeten we nog iets zien te vinden met de cosinus waar we echt wat aan hebben..Het probleem is dat theta (t) geen complex getal is, - we kunnen het dus niet meteen opschrijven in de ''cos+i sin'' vorm..
Dat verder vereenvoudigen, hoe moet ik dat doen.. Help me..
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..
Correct me if I'm wrong.
Correct me if I'm wrong.
- Berichten: 7.556
Re: Differentieren van slingerfunctie
Maar je kunt toch gewoonHeezen schreef:Goed.. En nu moeten we nog iets zien te vinden met de cosinus waar we echt wat aan hebben..
Het probleem is dat theta (t) geen complex getal is, - we kunnen het dus niet meteen opschrijven in de ''cos+i sin'' vorm..
Dat verder vereenvoudigen, hoe moet ik dat doen.. Help me..
\(e^{i\phi}=cos\phi+i\sin{\phi}\)
gebruiken?Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 481
Re: Differentieren van slingerfunctie
Owjah? Bij mij lukte dat niet.. Wat isMaar je kunt toch gewoon\(e^{i\phi}=cos\phi+i\sin{\phi}\)gebruiken?
\(\phi \)
dan?Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..
Correct me if I'm wrong.
Correct me if I'm wrong.
- Berichten: 7.556
Re: Differentieren van slingerfunctie
Ten eerste: je vergeet met de abc-formule het plusmin-teken: er zijn twee oplossingen voor z.
Ik noem
(1)
Hiervan kun je het reële deel nemen.
In jouw oplossing moet je dus gebruikmaken van
Ik noem
\(\beta=-\frac{k}{2m}\)
\(z_{1,2}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\frac{g}{\ell}}\)
De oplossing wordt dan \(\theta(t)=Ae^{-z_1t}+BAe^{-z_2t}\)
Je kunt nu drie situaties onderscheiden: (1)
\(\beta^2>\frac{g}{\ell}\)
(2) \(\beta^2=\frac{g}{\ell}\)
(3) \(\beta^2<\frac{g}{\ell}\)
Jij wilt blijkbaar naar de complexe oplossing (geval (3)). Dan is de oplossing\(\theta(t)=e^{\beta t}\left[Ce^{i\sqrt{\frac{g}{\ell}-\beta^2}t}+De^{-i\sqrt{\frac{g}{\ell}-\beta^2}t}\right]\)
met C en D complexe constanten afhankelijk van randvoorwaarden.Hiervan kun je het reële deel nemen.
In jouw oplossing moet je dus gebruikmaken van
\(e^{z+w}=e^ze^w\)
\(\forall z,w\in\cc\)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -