Bepaalde integralen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 17-06-'07, 11:39

malaka

Berichten: 4

Bepaalde integralen

Hallo,

ik ben bezig met de voorbereidingen voor mijn examen analyse, hiervoor moeten wij bepaalde integralen kunnen oplossen.

Nu op zich heb ik de techniek voor het oplossen van bepaalde integralen wel onder de knie, maar ik ontdekte toch enkele prblemen:

8-) 1/( :D (x-1)(x-3) pi.gif ) dx

met grenspunten van 0 tot 2

de functie is discontinu in 1

dus splits je de de bepaald integraal op in een som van 2 integralen, de ene met grenspunten van 0 tot k en de andere van 2 tot k (deel ligt onder de x-as dus functie van rechts naar links door lopen)

wanneer je de bepaalde integraal dan verder uit werkt, dan gebruik je voor de eerste integraal: limiet voor k gaande naar 1- en voor de 2de gebruik je limiet voor k gaande naar 1+.

Nu is de vraag, hoe moet ik deze limieten interpreteren?

Ik bedoel mag ik voor limiet voor k gaande naar 1- de k gewoon vervangen door min oneindig? (en omgekeerd voor 1+)
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 11:46

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Bepaalde integralen

\(f(x)=\int \frac{dx}{|(x-1)(x-3)|}\)
laat je de absolute waarden vallen dan splits je de integraal in 2 delen

[1,3] moet je maal -1 doen

daarbuiten gewoon

dus heb ik
\(\int \frac{dx}{(x-1)(x-3)}=\frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2}\)
\(f(x)= \left\{ \begin{array}{l}\frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \,\,\,\,\, x \leq 1\\ - \frac{\ln \left( x-3\right) }{2}+\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \,\,\,\,\, 1 <x <3 \\ \frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \,\,\,\,\, 3 \leq x \\ \end{array} \right.\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 11:54

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepaalde integralen

Oppassen met je grenzen van de intervallen: in x = 1 en x = 3 is f niet gedefinieerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 11:55

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Bepaalde integralen

moet ik die gewoon weglaten dan ?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 12:00

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepaalde integralen

Ja, het zijn dan strikte ongelijkheden.

malaka: die limieten convergeren niet, de integraal divergeert dus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 12:06

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Bepaalde integralen

mag ik het ook zo schrijven
\(\left ( \frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \right ) \mbox{sign}( (x-1)(x-3))\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 12:23

malaka

Berichten: 4

Re: Bepaalde integralen

TD schreef:Ja, het zijn dan strikte ongelijkheden.

malaka: die limieten convergeren niet, de integraal divergeert dus.
bedankt!

Maar hoe los ik die limiet op?

Als ik de integraal uit werk dan bekom ik dit:
\(f(x)=\int \frac{dx}{|(x-1)(x-3)|}\)
de grenspunten zijn 0 en 2

In f(1) is de functie discontinu dus splits de integraal op als volgt:
\(f(x)=\int \frac{dx}{(x-1)(x-3)}\)
(van 0 tot k) +
\(f(x)=\int \frac{dx}{(x-1)(x-3)}\)
(van 2 tot k)

als ik deze dan uitwerk dan bekom ik:

(-1/2)[ln|x-1|] (grenzen: k,0) + (1/2)[ln|x-3|] (grenzen:k,0) -(1/2)[ln|x-1|] (grenzen: k,2) + (1/2)[ln|x-3|] (grenzen:k,2)

Om dit dan uit te werken moet je ergens het volgende doen:

Limiet voor k=>(<1) van Ln|k-1|

Mijn eigenlijke vraag is dus eigenlijk hoe los ik deze limiet op?
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 12:54

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepaalde integralen

jhnbk schreef:mag ik het ook zo schrijven
\(\left ( \frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \right ) \mbox{sign}( (x-1)(x-3))\)
Ja hoor, of nog compacter:
\(\frac{{{\mathop{\rm sgn}} \left( {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right)}}{2}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right|\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 13:04

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepaalde integralen

\(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx = } \mathop {\lim }\limits_{k \to 1^ - } \int\limits_0^k {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{k \to 1^ - } \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{k - 3}}{{k - 1}}} \right| - \frac{{\ln 3}}{2}\)


Dan die limiet: voor k naar 1 (langs links) gaat de breuk naar oneindig (want de noemer naar 0). Nu nog het teken: de teller is 1-3 = -2 dus negatief, de noemer is ook negatief want langs links is k-1 < 0. Dus de breuk is positief, het is zoals ln(q) met q naar +∞. En de logaritme van x gaat met x naar +∞ ook naar +∞.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 13:20

malaka

Berichten: 4

Re: Bepaalde integralen

Dan die limiet: voor k naar 1 (langs links) gaat de breuk naar oneindig (want de noemer naar 0). Nu nog het teken: de teller is 1-3 = -2 dus negatief, de noemer is ook negatief want langs links is k-1 < 0. Dus de breuk is positief, het is zoals ln(q) met q naar +∞. En de logaritme van x gaat met x naar +∞ ook naar +∞.
Echt ongelooflijk hard bedankt voor deze uitleg!

Ik begrijp beter wat er bedoeld wordt!
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 13:35

jhnbk

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Bepaalde integralen

TD schreef:Ja hoor, of nog compacter:
\(\frac{{{\mathop{\rm sgn}} \left( {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right)}}{2}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right|\)
okay

(sorry, 'k was de absolute waarde vergeten bij de ln pi.gif )
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Omhoog

Bericht 17-06-'07, 14:08

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bepaalde integralen

malaka schreef:Echt ongelooflijk hard bedankt voor deze uitleg!

Ik begrijp beter wat er bedoeld wordt!
Graag gedaan!
(sorry, 'k was de absolute waarde vergeten bij de ln 8-) )
Dat vergeet ik ook wel vaker, uit gemakszucht meestal. Geen probleem pi.gif
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”