Bepaalde integralen
-
- Berichten: 4
Bepaalde integralen
Hallo,
ik ben bezig met de voorbereidingen voor mijn examen analyse, hiervoor moeten wij bepaalde integralen kunnen oplossen.
Nu op zich heb ik de techniek voor het oplossen van bepaalde integralen wel onder de knie, maar ik ontdekte toch enkele prblemen:
1/( (x-1)(x-3) pi.gif ) dx
met grenspunten van 0 tot 2
de functie is discontinu in 1
dus splits je de de bepaald integraal op in een som van 2 integralen, de ene met grenspunten van 0 tot k en de andere van 2 tot k (deel ligt onder de x-as dus functie van rechts naar links door lopen)
wanneer je de bepaalde integraal dan verder uit werkt, dan gebruik je voor de eerste integraal: limiet voor k gaande naar 1- en voor de 2de gebruik je limiet voor k gaande naar 1+.
Nu is de vraag, hoe moet ik deze limieten interpreteren?
Ik bedoel mag ik voor limiet voor k gaande naar 1- de k gewoon vervangen door min oneindig? (en omgekeerd voor 1+)
ik ben bezig met de voorbereidingen voor mijn examen analyse, hiervoor moeten wij bepaalde integralen kunnen oplossen.
Nu op zich heb ik de techniek voor het oplossen van bepaalde integralen wel onder de knie, maar ik ontdekte toch enkele prblemen:
1/( (x-1)(x-3) pi.gif ) dx
met grenspunten van 0 tot 2
de functie is discontinu in 1
dus splits je de de bepaald integraal op in een som van 2 integralen, de ene met grenspunten van 0 tot k en de andere van 2 tot k (deel ligt onder de x-as dus functie van rechts naar links door lopen)
wanneer je de bepaalde integraal dan verder uit werkt, dan gebruik je voor de eerste integraal: limiet voor k gaande naar 1- en voor de 2de gebruik je limiet voor k gaande naar 1+.
Nu is de vraag, hoe moet ik deze limieten interpreteren?
Ik bedoel mag ik voor limiet voor k gaande naar 1- de k gewoon vervangen door min oneindig? (en omgekeerd voor 1+)
- Berichten: 6.905
Re: Bepaalde integralen
\(f(x)=\int \frac{dx}{|(x-1)(x-3)|}\)
laat je de absolute waarden vallen dan splits je de integraal in 2 delen [1,3] moet je maal -1 doen
daarbuiten gewoon
dus heb ik
\(\int \frac{dx}{(x-1)(x-3)}=\frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2}\)
\(f(x)= \left\{ \begin{array}{l}\frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \,\,\,\,\, x \leq 1\\ - \frac{\ln \left( x-3\right) }{2}+\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \,\,\,\,\, 1 <x <3 \\ \frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \,\,\,\,\, 3 \leq x \\ \end{array} \right.\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 24.578
Re: Bepaalde integralen
Oppassen met je grenzen van de intervallen: in x = 1 en x = 3 is f niet gedefinieerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 6.905
Re: Bepaalde integralen
moet ik die gewoon weglaten dan ?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 24.578
Re: Bepaalde integralen
Ja, het zijn dan strikte ongelijkheden.
malaka: die limieten convergeren niet, de integraal divergeert dus.
malaka: die limieten convergeren niet, de integraal divergeert dus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 6.905
Re: Bepaalde integralen
mag ik het ook zo schrijven
\(\left ( \frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \right ) \mbox{sign}( (x-1)(x-3))\)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 4
Re: Bepaalde integralen
bedankt!TD schreef:Ja, het zijn dan strikte ongelijkheden.
malaka: die limieten convergeren niet, de integraal divergeert dus.
Maar hoe los ik die limiet op?
Als ik de integraal uit werk dan bekom ik dit:
\(f(x)=\int \frac{dx}{|(x-1)(x-3)|}\)
de grenspunten zijn 0 en 2In f(1) is de functie discontinu dus splits de integraal op als volgt:
\(f(x)=\int \frac{dx}{(x-1)(x-3)}\)
(van 0 tot k) + \(f(x)=\int \frac{dx}{(x-1)(x-3)}\)
(van 2 tot k)als ik deze dan uitwerk dan bekom ik:
(-1/2)[ln|x-1|] (grenzen: k,0) + (1/2)[ln|x-3|] (grenzen:k,0) -(1/2)[ln|x-1|] (grenzen: k,2) + (1/2)[ln|x-3|] (grenzen:k,2)
Om dit dan uit te werken moet je ergens het volgende doen:
Limiet voor k=>(<1) van Ln|k-1|
Mijn eigenlijke vraag is dus eigenlijk hoe los ik deze limiet op?
- Berichten: 24.578
Re: Bepaalde integralen
Ja hoor, of nog compacter:jhnbk schreef:mag ik het ook zo schrijven
\(\left ( \frac{\ln \left( x-3\right) }{2}-\frac{\ln \left( x-1\right) }{2} \right ) \mbox{sign}( (x-1)(x-3))\)
\(\frac{{{\mathop{\rm sgn}} \left( {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right)}}{2}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right|\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 24.578
Re: Bepaalde integralen
\(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx = } \mathop {\lim }\limits_{k \to 1^ - } \int\limits_0^k {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} = \mathop {\lim }\limits_{k \to 1^ - } \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{k - 3}}{{k - 1}}} \right| - \frac{{\ln 3}}{2}\)
Dan die limiet: voor k naar 1 (langs links) gaat de breuk naar oneindig (want de noemer naar 0). Nu nog het teken: de teller is 1-3 = -2 dus negatief, de noemer is ook negatief want langs links is k-1 < 0. Dus de breuk is positief, het is zoals ln(q) met q naar +∞. En de logaritme van x gaat met x naar +∞ ook naar +∞.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4
Re: Bepaalde integralen
Echt ongelooflijk hard bedankt voor deze uitleg!Dan die limiet: voor k naar 1 (langs links) gaat de breuk naar oneindig (want de noemer naar 0). Nu nog het teken: de teller is 1-3 = -2 dus negatief, de noemer is ook negatief want langs links is k-1 < 0. Dus de breuk is positief, het is zoals ln(q) met q naar +∞. En de logaritme van x gaat met x naar +∞ ook naar +∞.
Ik begrijp beter wat er bedoeld wordt!
- Berichten: 6.905
Re: Bepaalde integralen
okayTD schreef:Ja hoor, of nog compacter:
\(\frac{{{\mathop{\rm sgn}} \left( {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right)}}{2}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right|\)
(sorry, 'k was de absolute waarde vergeten bij de ln pi.gif )
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 24.578
Re: Bepaalde integralen
Graag gedaan!malaka schreef:Echt ongelooflijk hard bedankt voor deze uitleg!
Ik begrijp beter wat er bedoeld wordt!
Dat vergeet ik ook wel vaker, uit gemakszucht meestal. Geen probleem pi.gif(sorry, 'k was de absolute waarde vergeten bij de ln )
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)