Springen naar inhoud

Bewijs ivm eigenwaarden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2007 - 15:45

Bewijs:

Zij A en B beide nxn matrices, waarbij B inverteerbaar is. Toon nu aan dat de eigenwaarden van de matrix A en de matrix B-1AB dezelfde zijn.

Bijvraagje:
Mag je zeggen dat det(B-1AB) = det(B-1)*det(A)*det(B) = det(A)?
Ik meen mij daar iets over te herinneren, maar ik ben niet zeker. Als dat zo is, is het makkelijk te bewijzen.

Veranderd door raintjah, 19 juni 2007 - 15:47

Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juni 2007 - 16:05

Er geldt det(AB) = det(A)det(B), dus dat mag je inderdaad zeggen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2007 - 16:11

Ook die laatste gelijkheid?

det(B-1)*det(A)*det(B) = det(A)?

Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juni 2007 - 16:13

Determinant zijn gewoon getallen, dan geldt commutativiteit.
Pas dan de regel det(AB) = det(A)det(B) in de andere richting toe:

LaTeX
LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2007 - 16:15

Joepie, dan heb ik die vraag (het oorspronkelijke bewijs) op mijn examen tóch juist :D
You made my day ;D

Veranderd door raintjah, 19 juni 2007 - 16:15

Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#6

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2007 - 16:25

Voor ik te vroeg juich:

Mijn bewijs ging als volgt:
Stel dat lambda een eigenwaarde is van A, dan geldt:
LaTeX

Voor de determinant van C (met LaTeX ) geldt:
LaTeX

Aangezien det(A) = det©, zal LaTeX

en dus is lambda ook een eigenwaarde van C.

Veranderd door raintjah, 19 juni 2007 - 16:25

Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#7

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2007 - 17:27

Ik denk dat ik al een tegenvoorbeeld heb gevonden voor die laatste stap.. Verdorie!
Hoe had ik het dan wel moeten bewijzen?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juni 2007 - 17:49

Waarom zou uit det(A) = det© volgen dat ook det(A-kIn) = det(C-kIn)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2007 - 17:50

Waarom zou uit det(A) = det© volgen dat ook det(A-kIn) = det(C-kIn)?


Ja dat vraag ik me nu ook af :D
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juni 2007 - 18:05

Neem matrix A met eigenwaarde lambda (en bijbehorende eigenvector v).
Herschrijf dan als volgt en definieer een nieuwe (eigen)vector Pv = w, dan:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Akarai

    Akarai


  • >100 berichten
  • 140 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2007 - 18:31

Stel LaTeX

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Bereken ff de determinanten:

LaTeX
LaTeX en B is inverteerbaar => LaTeX en LaTeX zijn niet 0.
dus:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Dit geldt voor elke eigenwaarde LaTeX dus ze hebben dezelfde eigenwaarden.

#12

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2007 - 22:21

Hmm, dan kom je uiteindelijk toch op hetzelfde uit als mij :s Vreemd
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juni 2007 - 22:42

Welja, als de stelling klopt moet je daarbij kunnen uitkomen.
Alleen kan je dat nog niet concluderen uit det© = det(A).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Akarai

    Akarai


  • >100 berichten
  • 140 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2007 - 14:16

Het bewijs is eigenlijk triviaal, want wat eigenlijk in je opgave staat is dat LaTeX en LaTeX similar matrices zijn, dus ze hebben dezelfde eigenwaarden. dezelfde rang, dezelfde determinant, hetzelfde spoor...

Dus eigenlijk hoefde je gewoon te zeggen dat het 2 similar matrices waren, want wat in de opgave staat is de definitie ervan :D

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2007 - 16:44

Het bewijs is eigenlijk triviaal, want wat eigenlijk in je opgave staat is dat LaTeX

en LaTeX similar matrices zijn, dus ze hebben dezelfde eigenwaarden. dezelfde rang, dezelfde determinant, hetzelfde spoor...

Dus eigenlijk hoefde je gewoon te zeggen dat het 2 similar matrices waren, want wat in de opgave staat is de definitie ervan :D

Dat maakt het bewijs toch niet "trivialer" dan het al was? Zoals je zegt is het gegeven net dat ze gelijksoortig zijn, alleen zonder het zo te noemen. Je moet dus (volgens mij) net aantonen dat deze gelijke eigenwaarden hebben. Dat kan inderdaad kort, zoals hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures