Springen naar inhoud

wiskunde: complexe getallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2005 - 18:27

ik heb een probleempje,

deze oefenig over complexe getallen moet ik oplossen maar ik snap de vraag zelfs niet :shock:

de vergelijking z^2 + az + b = 0 (a, b element van R) heeft als wortel 2 - i
bepaal a en b en de andere wortel.

als jullie het mij even zouden kunnen uitleggen? ;)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 februari 2005 - 18:55

Ik denk dat het meest invoudig toch met de abc-formule is:

z = {-b +/- sqrt(b2 - 4ac) } / 2a

nu is in dit geval a = 1, b = a en c = b

dus z = -a/2 +/- sqrt(a2 - 4b) / 2

Nu kan alleen de wortel (sqrt) een imaginair getal opleveren.

-a/2 = 2 => a = -4

en sqrt(a2 - 4b)/2 = i
=> a2 - 4b = -4
=> 16 + 4 - 4b = 0
=> b = 5

De tweede oplossing is 2 + i (ivm +/- voor het wortelteken)
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 februari 2005 - 19:13

oplossen met de abc-formule, dan krijg je deze twee wortels (oplossingen):

(-a+;)(a2-4b))/2 en (-a-;) (a2-4b))/2

Een van deze twee is 2-i, dat is dus de tweede (want die i kan alleen uit een wortel komen, en de wortel in de eerste heeft een positieve factor ervoor terwijl je MIN i nodig hebt).

Dus (-a-:?: (a2-4b))/2 = 2-i
-a/2 moet het rele deel (2) zijn en de -;)(a2-4b)/2 het imaginaire (-i). Dus a=-4, en dan moet er onder de wortel -4 komen (want -:shock:(-4)/2 = -i) dus b=5.

De andere wortel is dan 2+i.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 februari 2005 - 19:13

oh, hehe :shock:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 februari 2005 - 19:19

ik heb een probleempje,

deze oefenig over complexe getallen moet ik oplossen maar ik snap de vraag zelfs niet :shock:

de vergelijking      z^2 + az + b = 0  (a, b element van R) heeft als wortel  2 - i
bepaal a en b en de andere wortel.

als jullie het mij even zouden kunnen uitleggen? ;)


Bij rele coefficienten zijn complexe wortels altijd complex geconjugeerd, dus als 2-i een wortel is dan 2+i ook (geldt niet alleen voor kwadratische vergelijkingen maar voor alle nulpunten van polynomen met rele coefficienten). Daarmee wordt het een simpele invuloefening.

#6


  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2005 - 19:29

bedankt voor deze, waarschijnlijk juiste antwoorden.

maar ik heb n probleem. ik heb sins 2 weken complexe getallen en heb dus nog nooit gehoort van de abc - formule :shock:
is er misschien nog een anderre manier. een manier die ik zou kunnen snappen? ;)

sorry hoor

#7

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 februari 2005 - 19:31

bedankt voor deze, waarschijnlijk juiste antwoorden.

maar ik heb n probleem. ik heb sins 2 weken complexe getallen en heb dus nog nooit gehoort van de abc - formule :shock:
is er misschien nog een anderre manier. een manier die ik zou kunnen snappen? ;)

sorry hoor


Nooit gehoord van de abc-formule.
Misschien dat je het onder een andere naam kent

Hoe los jij anders ax2+bx+c op
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#8

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 februari 2005 - 20:48

bedankt voor deze, waarschijnlijk juiste antwoorden.

maar ik heb n probleem. ik heb sins 2 weken complexe getallen en heb dus nog nooit gehoort van de abc - formule :shock:
is er misschien nog een anderre manier. een manier die ik zou kunnen snappen? ;)

sorry hoor


Zoals ik al zei:

Bij rele coefficienten zijn complexe wortels altijd complex geconjugeerd, dus als 2-i een wortel is dan 2+i ook (geldt niet alleen voor kwadratische vergelijkingen maar voor alle nulpunten van polynomen met rele coefficienten). Daarmee wordt het een simpele invuloefening.

Hieruit volgt onmiddelijk dat x2+ax+b=(x-2+i)(x-2-i)=x2-4x+5 zodat a=-4 en b=5.

#9

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 februari 2005 - 21:27

Het hoort hier eigenlijk niet thuis maar voor het geval je je afvraagt waarom het zo is dat wanneer z een nulpunt is van een polymoom P(x) met rele cofficienten ook z een nulpunt is (z geeft hier de complex geconjugeerde aan omdat ik geen streepjes boven de letters kan maken) het volgende:
Overtuig je er eerst van dat wanneer z en y twee complexe getallen zijn dat dan geldt: (z+y)=z+y en (zy)=zy (gewoon uitschrijven met z=a+bi en z=a-bi).
Hiermee kun je aantonen dat wanneer z een oplossing is van P(x)=a0+a1x+a2x2+...anxn=0 dat dan z een oplossing is van a0+a1x+a2x2+...anxn=0 (nl door de complex geconjugeerde van het hele polynoom P(x) te nemen en dat vervolgens met de bovengenoemde gelijkheden op te splitsen).
Omdat voor rele cofficienten ak=ak volgt heel eenvoudig dat z een nulpunt is van P(x).

#10


  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2005 - 21:43

Ik geloof dat ik meelij met je moet hebben. Je moet een kwadratische verg behandelen en je kent de abc-formule niet. De gestelde vraag begrijp je zelfs niet! Welke opleiding volg je eigenlijk? Waar komt die opdracht vandaan? Genoeg daarover! Op internet kan je veel over de kw verg vinden.
Maar nu de complexe getallen, ook helemaal onbekend?
Bert merkte al op dat als de verg reele coefficienten heeft, de complexe oplossingen geconjugeerd zijn. Dwz als z=p+iq (met p,q reeel) een opl is dan is ook z=p-iq ook een opl. Ik ga dat hier niet bewijzen.

Vroeger leerde je van de kw verg: ax2+bx+c=0, dat als de opl x1 en x2 zijn geldt: x1+x2=-b/a en x1*x2=c/a en (gek genoeg) dat geldt ook als er geen opl zijn, maw als de discriminant kleiner dan 0 is.
Ook dit ga ik niet bewijzen maar kan jezelf (makkelijk, ook met letters) nagaan.

Nu even op een rij zetten:
z2+az+b=0 en z1=2-i dus z2=2+i (zie boven)
Nu volgt: z1+z2=2-i+2+i=4=-b (zie boven)
en z1*z2=(2-i)(2+i)=4+1=5=c (zie boven)
De vraag had dus beter kunnen luiden: geef de andere wortel en bereken a en b. Zoals je ziet a=-4 en b=5 (zoals Bert al meldde)

Ik hoop niet dat ik iemand verveeld heb!

#11


  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2005 - 21:51

Ik las nu net dat Bert over geconjugeerde oplossingen de zaak nader toelichtte.
Gelukkig is het bewijs van de stelling: 'als een polynoom met reele coeff een complexe oplossing heeft ook de geconjugeerde een opl is', veel eenvoudiger als de rekenregels met geconjugeerden bekend zijn!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures