Springen naar inhoud

Potentiaal binnen een isolerende bol


  • Log in om te kunnen reageren

#1

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juni 2007 - 22:43

Gegeven is een isolerende bol, straal R, met uniforme ladingsdichtheid. Geef een uitdrukking voor de potentiaal binnen de bol. Neem hiervoor V(oneindig)=0.

Ik zou dit probleem als volgt oplossen:

Omdat er uniforme ladingsdichtheid is kunnen we schrijven: LaTeX <=> LaTeX

Omdat we V(oneindig)=0 mogen nemen kunnen we schrijven voor r<R:
LaTeX

Omdat we ook tenslotte mogen opschrijven (lading is uniform): LaTeX

Dus: LaTeX

Nu is mijn vraag, wat doe ik fout? Ik zie dit namelijk echt niet....

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 juni 2007 - 22:57

Omdat we V(oneindig)=0 mogen nemen kunnen we schrijven voor r<R:
LaTeX

Dit klopt niet. Je verwart tussen de bolcoördinaat r en de afstand r tussen de lading en het punt waar je de potentiaal berekent.
Neem gewoon een bol met straal r (bolcoördinaat) en stel LaTeX , met LaTeX . Kom je er nu wel uit?

#3

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juni 2007 - 23:19

Niet echt.
Ik zit me af te vragen of dit probleem wel met een integratie uitgevoerd kan worden... Als we de bol zien als een verzameling van puntladingen is er vrijwel geen geschikte integratie te vinden om de potentiaal uit te rekenen. De potentiaal die ik heb gevonden geldt dus alléén voor een punt in het middelpunt van de bol.

Hoe kom je trouwens aan LaTeX ? De lading buiten het oppervlak is hier dan toch niet mee ingesloten? Deze veroorzaakt toch wel een potentiaal?

De potentiaal uitrekenen uit het elektrische veld lukt overigens wel (het veld is uit de Wet van Gauss te halen).

Veranderd door flamey, 23 juni 2007 - 23:21


#4

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juni 2007 - 01:11

je hebt gelijk, dat gaat ook niet lukken (was te snel, sorry).
Correcte integraal:
LaTeX
Dat zal allicht nog met de hand gaan, als je je verveelt.

#5

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 juni 2007 - 01:38

Stel: De straal van de bol =R
Voor afstanden r> R mag je de totale elektr. lading vna de bol geconcentreerd denken in het middelpunt van de bol.
De potentiaal V is dan :
LaTeX
Laten we aannemen dat de lading positief is.
LaTeX
De elektr. potentiaal aan de rand van de bol is dus:
LaTeX
De elektrische veldsterkte neemt rechtevenredig toe met de straal r, als je van r=0 naar r=R gaat.
De elektr. potentiaal zal dan afnemen, als je van r=0 naar r=R gaat, en rechtevenredig zijn met r (kwadraat).

Veranderd door aadkr, 24 juni 2007 - 01:43


#6

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2007 - 10:12

Het is niet zo moeilijk om via de wet van Gauss te vinden dat het elektrisch veld binnen in de bol (dus voor r < R) gelijk is aan LaTeX . Noem C een punt op de bol en noemd D een punt in de bol op afstand r van het centrum. Dan is LaTeX met LaTeX en dan is

LaTeX

Maar LaTeX dus

LaTeX

V_D is dan de potentiaal in een punt D in de bol.

#7

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juni 2007 - 11:13

De elektrische veldsterkte neemt rechtevenredig toe met de straal r, als je van r=0 naar r=R gaat.

Dit willen we toch juist aantonen, met de integraalmethode? (dus zonder Gauss op de sferen toe te passen)

Veranderd door eendavid, 24 juni 2007 - 11:14


#8

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2007 - 11:48

Inderdaad, de potentiaal binnen de bol berekenen lukt inderdaad met de Wet van Gauss. Ik wil het echter op de moeilijke manier ook kunnen 8-) . Ik zoek hierbij een uitdrukking voor een willekeurig punt binnen de bol, dus niet op een specifiek punt (zoals de rand). De wiskunde zal hierbij niet het probleem zijn, het grote probleem bij mij is het opstellen van een juiste integratie.

Eendavid hoe kom je aan de integraal: LaTeX ? Het antwoord heb ik hier wel liggen, het gaat me uiteraard om de methode :D

#9

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juni 2007 - 12:08

Beschouw een punt op de bol met straal r, en voer bolcoördinaten in met de z-as naar dat punt geöriënteerd. LaTeX , de integrate over LaTeX geeft LaTeX en afstand van het bolpuntpunt naar het integratiepunt staat in de noemer.

Veranderd door eendavid, 24 juni 2007 - 12:08


#10

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 juni 2007 - 15:24

Volgens mij is het antwoord van Rov helemaal goed.
Ik heb het op een iets andere manier berekent, en kom dan op dezelfde formule uit als Rov.
Stel: Het middelpunt van de bol valt samen met de oorsprong van het xyz-assenstelsel.
Straal bol =R
Ik heb het verloop van de elektr. potentiaal langs de positieve x-as berekent. Vanwege de bolsymmetrie is het verloop van de elektr. potentiaal in elke andere richting hetzelfde.
LaTeX

#11

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 juni 2007 - 15:38

Het antwoord van Rov is helemaal goed en bovendien knap gevonden.
Een professionele afleiding !!!!

#12

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2007 - 18:48

Bedankt, oefening baart kunst zou ik zeggen. Veel sommetjes maken dus :D.

Ik zoek hierbij een uitdrukking voor een willekeurig punt binnen de bol, dus niet op een specifiek punt (zoals de rand).

Dat doe ik toch niet? Ik geef toch een uitdrukking voor een willekeurig punt in de bol.

#13

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 juni 2007 - 19:03

Als je in de formule van Rov de Q vervangt door:
LaTeX
dan krijg je gewoon de formule die in mijn bericht staat.
Je mag in mijn formule de x door r vervangen.
LaTeX

#14

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 juni 2007 - 21:10

[attachment=318:scan0013.jpg]

#15

Brinx

    Brinx


  • >1k berichten
  • 1433 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 24 juni 2007 - 21:58

Als het hier om de potentiaal gaat van een massieve bol met een uniforme ladingsdichtheid over het hele volume van de bol (dus niet over een bolschil), dan zou de limiet van de helling van de potentiaalkromme aan het oppervlak van de bol (r = R) komend van zowel van binnen de bol als van buiten de bol dezelfde moeten zijn. Misschien een schetsfoutje, maar in aadkr's tekening zie ik dat nog niet terug...daar zit een knik in bij r = R. Volgens mij moet die overgang dus vloeiend zijn.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures