Springen naar inhoud

Pythagoras


  • Log in om te kunnen reageren

#1

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 03 juli 2007 - 13:20

Door deze vraag probeer ik een eenvoudige methode te ontwikkelen om studenten in de wiskunde en vooral techniek duidelijk te maken hoe formules van bepaalde zaken zijn ontwikkeld en worden gebruikt in de statica.

Onderweg daar naar toe en denkende aan krachten-driehoeken en-veelhoeken kom ik in de buurt van de basis en dat is de Stelling van Pythagoras.
Pythagoras leefde in ca. 600 vC en reisde veel door het midden Oosten,oa.Egypte en ook naar Perzie en verder.

Hij moet dus de pyramide van Gizeh hebben bezocht,welke werd gebouwd met voor ons begrijpelijke wiskundige begrippen,denkwijzen die aanwezig waren in de bouwtijd ervan en dat was ca.3000-4000 vC.

De heer Phytagoras heeft wrs. wiskundige begrippen in wetenschappen kunnen vastleggen en produceerde naar onze mening zijn beroemde Stelling.

Is deze Stelling gebaseerd op waarnemingen van hem van objecten of is deze Stelling zuiver wetenschappelijk aan te tonen.

Dat intrigeert me en om dus studenten dat uit te leggen om wiskundig begrip aan te boren bij de moderne en door veel indrukken belaste "denkhoofden" :D

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juli 2007 - 13:53

ik denk dat pythagos tot een opmerkelijke vaststelling is gekomen toen hij zijden van driehoeken begon te meten. dat veralgemeend heeft in een stelling. en daarna bewezen heeft.

en dat is wel zo bij de meeste stellingen denk ik.

#3

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 juli 2007 - 20:59

Heeft Pythagoras zijn eigen stelling bewezen? Hoe heeft hij dat gedaan?

#4

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 juli 2007 - 21:51

Hij kon dit bijvoorbeeld doen door een vierkant te tekenen aan elke zijde van de driehoek en de bekomen oppervlakken te meten.

Het is overigens mogelijk dat de stelling van Pythagoras aanleiding heeft gegeven tot de ontdekking van de irrationale getallen. Daar deze getallen niet gemeten kunnen worden, slechts benaderd, zette dit waarschijnlijk de pythagoreÔsche filosofie op de helling. Pythagoras overtuigd van de volmaaktheid van getallen.

#5

Jeroen Bouterse

    Jeroen Bouterse


  • >250 berichten
  • 261 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juli 2007 - 00:14

Inderdaad. En het inzicht in het bestaan van die getallen en in de daaruit volgende 'gebrekkigheid' van getallen, heeft de Grieken mogelijk tot het bedrijven van meetkunde gebracht.[1] Overigens is de bijdrage van Pythagoras niet zozeer de ontdekking dat het kwadraat van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek in de praktijk altijd overeenkomt met de som van de kwadraten van de andere zijden; dat wisten de BabyloniŽrs ook al.[2] Juist het generaliseren en door deductief bewijs abstract maken van de bestaande vuistregels (ook inderdaad die van de Egyptische meetkunde) vormden Pythagoras' vernieuwing.[3]

Overigens lijkt het erop dat de door ypsilon genoemde ontdekking de PythagoreeŽrs in het geheel niet heeft afgeholpen van hun obsessie met getallen, maar ik begrijp eigenlijk niet zo goed waarom niet. De zuivere verhoudingen tussen snaarlengte en toonhoogte werden misschien toch als een zodanig veelzeggend fenomeen beschouwd dat het bestaan van minder zuivere verhoudingen niet meteen een probleem was? :D (Zo, wordt die smiley ook nog eens gebruikt.)

[1] D.C.Lindberg, The beginnings of Western science (1992) 87.
[2] C.Freeman, The closing of the western mind (2005) 15.
[3] R.E.Allen, Greek philosophy: Thales to Aristotle (1991) 8.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juli 2007 - 09:18

Heeft Pythagoras zijn eigen stelling bewezen? Hoe heeft hij dat gedaan?

Helpt dit?
Geplaatste afbeelding
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 04 juli 2007 - 11:00

Hier zit wrs.de "Gulden Regel"in verscholen!

#8

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juli 2007 - 20:53

Helpt dit?
[plaatje] http://distance-ed.m...zzle_pieces.jpg

Dat is het bewijs dat ik vroeger heb geleerd inderdaad, maar is dit ook Pythagoras' originele bewijs?

Veranderd door Erik Leppen, 05 juli 2007 - 20:54


#9

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 juli 2007 - 22:55

Misschien deed hij het (zoals ik eerder al zei maar een prentje maakt het duidelijker) op deze manier.
Geplaatste afbeelding
P+Q=R

#10

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 06 juli 2007 - 00:13

Het lijkt een mooi bewijs,maar toon eens aan dat P +Q = R.

Dan kom je weer terug op de vraag van het eerdere bewijs en wel is de som van de kwadraten van de rechthoekzijden gelijk aan het kwadraat van de hypothenusa?

Ik denk dat je terug moet naar de rechter afbeelding van Rogier en daar de theorie van de Gulden Regel op toepassen om zodoende bij de gevormde stelling van Pytagoras te komen,of via het volgende verhaal.

Het linker deel van Rogiers afbeeldingen laat een ingeschreven vierkant zien dat de helft is van het omringende vierkant;misschien zal dat ook weer moeten worden bewezen!

En dat gaat wrs. het eenvoudigst door het kleine vierkant zodanig te kantelen,dat die met zijn zijden onder een hoek van 45 graden staat en dat zo eenvoudig is aan te tonen wat er gevraagd wordt.

Het kost moeite om een bewijs voor de stelling van dhr.P.te fabriceren.

#11

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juli 2007 - 00:35

Het lijkt een mooi bewijs,maar toon eens aan dat P +Q = R.

Lengten en oppervlakten (van resp. de zijden van de driehoek en de grootte van de vierkanten) kon men wel bereken denk ik*, dus dan ben je er vrij snel met het plaatje dat ik gaf.

*men was al vrij ver met de wiskundige bewijsvoering in die tijd. Getuige daarvan ook de beroemde problemen waar de Grieken mee worstelden: het verdubbelen van een kubus, het kwadrateren van een cirkel,...

#12

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juli 2007 - 00:58

Lengten en oppervlakten (van resp. de zijden van de driehoek en de grootte van de vierkanten) kon men wel bereken denk ik*, dus dan ben je er vrij snel met het plaatje dat ik gaf.

Dat plaatje, of "P+Q=R", is juist de stelling, niet het bewijs pi.gif

Uit het plaatje volgt geenszins dat voor iedere rechthoekige driehoek, de oppervlaktes van die twee kleine vierkanten samen gelijk is aan de oppervlakte van het grote vierkant.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#13

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juli 2007 - 01:04

Het linker deel van Rogiers afbeeldingen laat een ingeschreven vierkant zien dat de helft is van het omringende vierkant;misschien zal dat ook weer moeten worden bewezen!

Zoals gezegd kan het op veel verschillende manieren, maar alleen het linkerdeel bevat al een vrij eenvoudig bewijs:

Noem de twee rechte zijden van de driehoeken P en Q, en de schuine zijde R.
De zijkant van het totale vierkant is dus P+Q.
De oppervlakte van totale vierkant is dan (P+Q)2 = P2+2PQ+Q2
Maar ook: oppervlakte van totale vierkant = oppervlakte van 4 driehoeken + binnenste vierkant = 2PQ + R2

Dus P2 + Q2 = R2.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#14

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juli 2007 - 01:07

Iets te snel willen zijn en iets te laat op de avond pi.gif Je hebt natuurlijk gelijk... Hij zal er zo toe gekomen zijn maar bewijs is nog wat anders. Tja, veel succes ermee, misschien vindt iemand wel nog wat.

#15

Jeroen Bouterse

    Jeroen Bouterse


  • >250 berichten
  • 261 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2007 - 12:12

Er zijn talloze bewijzen, dus welk daarvan Pythagoras gebruikt zou hebben is sowieso niet zomaar te raden denk ik. De stelling schijnt overigens niet door Pythagoras zelf daadwerkelijk bewezen te zijn - "rigorous mathematical demonstrations did not appear full-blown with the Pythagoreans" - maar voor het eerst door Euclides.[1] Hij gebruikt trouwens wat meer hulplijntjes dan Rogier. pi.gif [2]

[1] J.E.McClellan III en H.Dorn, Science and technology in world history (2006) 63-64.
[2] Zie http://www.pandd.dem...ropI44.htm#I-47





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures